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Niveau maths spé
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Combinatoire et Graphes

Posté par
marcelleK
22-10-20 à 00:04

Bonsoir,

Soient E un ensemble et \mathfrak{F} un ensemble de parties de E. Autrement dit, \mathfrak{F} ⊆ P(E).
Pour toute partie A ⊆ E, on notera \mathfrak{F}A = {F ∩ A : F ∈ \mathfrak{F} } l'ensemble des parties de
A qui s'obtiennent comme intersection de A avec un élément de \mathfrak{F}. Enfin, on dira que
\mathfrak{F} éparpille une partie A ⊆ E lorsque \mathfrak{F}A = P(A). En d'autres termes, \mathfrak{F} éparpille A lorsque toute partie de A peut s'obtenir comme intersection de A avec un élément de \mathfrak{F}.

Partie n°1

1. Donner les ensembles \mathfrak{F}A1 et \mathfrak{F}A2 associés à  

\mathfrak{F} = { {1,2},{1,3},{2,3,4},{5}} ,  A1= {2,3} et A2={2,4}

En déduire que \mathfrak{F} éparpille A1, mais pas A2.

Dans les deux questions qui suivent, on se place dans le cas général où E est un ensemble et \mathfrak{F} est un ensemble de parties de E.

2. Montrer que si \mathfrak{F} éparpille une partie A\subseteq E, alors \mathfrak{F} éparpille B pour tout B\subseteq  A.

3.  Montrer que si \mathfrak{F} éparpille une partie A \mathfr\subseteqE, alors \mathfr\mathfrak{G}
\mathfr\mathfrak{G} éparpille A pour tout \mathfr\mathfrak{G} tel que \mathfr\mathfrak{F} \mathfr\subseteq\mathfr\mathfrak{G}
\mathfr\subseteqP(E)









1. j'ai répondu : \mathfrak{F}A1={{2},{3},{2,3}}  et \mathfrak{F}A2={{2},{2,4}}

D'après la définition, \mathfrak{F} éparpille A lorsque toute partie de A, peut s'obtenir comme intersection de A avec un élément de \mathfrak{F}. Or  P(A1)={{2},{3},{2,3}}  et P(A2)={{2},{4},{2,4}}   et nous avons \mathfrak{F}A1=P(A1) et \mathfrak{F}A2P(A2). Par conséquent, \mathfrak{F} éparpille A1 mais pas A2.

2. j'ai repondu  Procédons par double inclusions.
Supposons que \mathfrak{F} éparpille une partie A \subseteqE \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} \mathfrak{F}A=P(A)\\ P(A)=\left\lbrace\begin{matrix} F\bigcap{A;F\in \mathfrak{F}} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.

si B\subseteq A

alors P(B)\subseteqP(A)     et    FB\subseteqF
A

puis, je suis bloqué..

3. j'ai commencé à répondre :
montrer que \mathfrak{G} éparpille A pour tout \mathfrak{G}   revient à écrire P(A) = { GA ; G \mathfrak{G} }    ainsi si \mathfrak{F} éparpille A c'est à dire que P(A)={FA;F\mathfrak{F}} et que  \mathfrak{F}
\subseteq \mathfrak{G} donc FA \subseteq GA alors P(A) \subseteq {GA; G\mathfrak{G}}

et puis pour la deuxième inclusion je bloque.

en vous remerciant à tous

Posté par
jsvdb
re : Combinatoire et Graphes 22-10-20 à 00:44

Bonjour marcelleK.

Remarque concernant ta réponse à la question 1 : tu as oublié des ensembles vides un peu partout.

question 2 : si B A alors toute partie P de B est une partie de A. Par conséquent P peut s'écrire comme intersection de B avec un élément de \mathfrak F

question 3 : si \mathfrak F éparpille A, cela signifie que toute partie de A est l'intersection de A avec un élément F \in \mathfrak F. Si \mathfrak F\subset \mathfrak G alors F est aussi un élément de \mathfrak G et donc \mathfrak G éparpille A.

Posté par
malou Webmaster
re : Combinatoire et Graphes 22-10-20 à 08:23

Bonjour à vous deux,
marcelleK doit régulariser sa situation avant de pouvoir poursuivre. Dès que cela sera fait, l'échange pourra se poursuivre.
marcelleK, renseigne ton profil s'il te plaît

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?


Posté par
marcelleK
re : Combinatoire et Graphes 22-10-20 à 20:32

jsvdb  je te remercie !

(le prénom que porte ce pseudo m'est cher)



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