Bonsoir,
Soient E un ensemble et un ensemble de parties de E. Autrement dit, ⊆ P(E).
Pour toute partie A ⊆ E, on notera A = {F ∩ A : F ∈ } l'ensemble des parties de
A qui s'obtiennent comme intersection de A avec un élément de . Enfin, on dira que
éparpille une partie A ⊆ E lorsque A = P(A). En d'autres termes, éparpille A lorsque toute partie de A peut s'obtenir comme intersection de A avec un élément de .
Partie n°1
1. Donner les ensembles A1 et A2 associés à
= { {1,2},{1,3},{2,3,4},{5}} , A1= {2,3} et A2={2,4}
En déduire que éparpille A1, mais pas A2.
Dans les deux questions qui suivent, on se place dans le cas général où E est un ensemble et est un ensemble de parties de E.
2. Montrer que si éparpille une partie A E, alors éparpille B pour tout B A.
3. Montrer que si éparpille une partie A E, alors
éparpille A pour tout tel que
P(E)
1. j'ai répondu : A1={{2},{3},{2,3}} et A2={{2},{2,4}}
D'après la définition, éparpille A lorsque toute partie de A, peut s'obtenir comme intersection de A avec un élément de . Or P(A1)={{2},{3},{2,3}} et P(A2)={{2},{4},{2,4}} et nous avons A1=P(A1) et A2P(A2). Par conséquent, éparpille A1 mais pas A2.
2. j'ai repondu Procédons par double inclusions.
Supposons que éparpille une partie A E
si B A
alors P(B)P(A) et FBF
A
puis, je suis bloqué..
3. j'ai commencé à répondre :
montrer que éparpille A pour tout revient à écrire P(A) = { GA ; G } ainsi si éparpille A c'est à dire que P(A)={FA;F} et que
donc FA GA alors P(A) {GA; G}
et puis pour la deuxième inclusion je bloque.
en vous remerciant à tous
Bonjour marcelleK.
Remarque concernant ta réponse à la question 1 : tu as oublié des ensembles vides un peu partout.
question 2 : si B A alors toute partie P de B est une partie de A. Par conséquent P peut s'écrire comme intersection de B avec un élément de
question 3 : si éparpille A, cela signifie que toute partie de A est l'intersection de A avec un élément . Si alors est aussi un élément de et donc éparpille A.
Bonjour à vous deux,
marcelleK doit régulariser sa situation avant de pouvoir poursuivre. Dès que cela sera fait, l'échange pourra se poursuivre.
marcelleK, renseigne ton profil s'il te plaît
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