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Comment calculer le DL en 0 à l'ordre 3 de sqrt(cos(x))

Posté par
Edison 27-06-18 à 23:40

Bonsoir j'aimerai savoir comment calculer le DL en 0 à l'ordre 3 de \sqrt{cos(x)}

Déjà je sais que :

cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+o(x^3)

Maintenant je sais aussi que en 0 \sqrt{x} n'est pas dérivable (il n'admet donc pas de DL en ce point) mais \sqrt{cos(x)} si car si on pose y = cos(x) lorsque x tend vers 0 on a y qui tend vers 1 mais je sais pas comment m'y prendre...

Merci d'avance pour votre aide!

Posté par
SkyMtnre : Comment calculer le DL en 0 à l'ordre 3 de sqrt(cos(x)) 27-06-18 à 23:43

Bonsoir, que penses-tu du DL de \sqrt{1-u} au voisinage de 0 ?

Posté par
Edisonre : Comment calculer le DL en 0 à l'ordre 3 de sqrt(cos(x)) 28-06-18 à 11:07

Bonjour c'est c'est de cette forme là :

(1-u)^a = 1-ax-\frac{a(a-1)}{2!}x^2-...-\frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)

avec a = \frac{1}{2}

Posté par
Edisonre : Comment calculer le DL en 0 à l'ordre 3 de sqrt(cos(x)) 28-06-18 à 11:19

Petite erreur j'ai oublié de remplacer x par u dans la partie polynomiale

Posté par
jsvdbre : Comment calculer le DL en 0 à l'ordre 3 de sqrt(cos(x)) 28-06-18 à 11:53

Bonjour Edison.

Tu peux aussi utiliser le fait que f : x \mapsto \sqrt{\cos(x)} est 3 fois dérivable sur un voisinage de 0.

Par conséquent le DL à l'ordre 3 de la fonction en 0 est f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}{2} f''(0) + \frac{x^3}{6} f'''(0) + o(x^3).

Ça a le mérite d'éviter de composer des DL et ne pas zapper des termes en cours de route.
Ça a le (très) léger inconvénient de demander de calculer les dérivées successives.

Mais de toute façon, on ne fait pas d'omelettes sans casser des œufs.

Posté par
Edisonre : Comment calculer le DL en 0 à l'ordre 3 de sqrt(cos(x)) 28-06-18 à 11:59

Bonjour jsvdb justement j'ai toujours eu l'habitude de faire comme ça mais mon prof souhaite que l'on maîtrise la composition de DL.

Posté par
SkyMtnre : Comment calculer le DL en 0 à l'ordre 3 de sqrt(cos(x)) 28-06-18 à 15:52

De l'entraînement, une cure de composition de DL t'attend
Tu apprendra à déterminer à l'avance les ordres auxquels il faut développer.
Ici par exemple, le cosinus à l'ordre 3 et \sqrt{1-u} à l'ordre 1 (tous deux au voisinage de 0), pourquoi ? Essaies de voir pourquoi

Posté par
jsvdbre : Comment calculer le DL en 0 à l'ordre 3 de sqrt(cos(x)) 28-06-18 à 16:29

Il est vrai que dans le cas présent ce n'est pas trop compliqué :

\sqrt{\cos(x)} = \sqrt{1 - x^2/2 + o(x^3)} = 1 - \frac{1}{4} x^2 + o(x^3) en 0


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