Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Fonction LogarithmeTopics traitant de Fonction Logarithme [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Comment démontrer un resultat de cours ? (limite et logarythme)

Posté par
elotwist 15-02-05 à 19:19

Le but de l'exercice est de demontrer le résultat de cours suivant :
lim (lnx)/x = 0 qd x tend vers + l'infini

Définition :
Soit f une fonction définie sur l'intervalle [A. + l'infini[, où A est un réel positif, et soit L un nombre réel.
Dire que la fonction f a pour limite L en +l'infini signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient tous les nombres f(x) pour x assez grand.

Théorème : Soit L un nombre réel, f, g et h des fonctions definies sur l'intervalle [A; + l'infini[ ou A est un réel positif. Si f,g,et h vérifient les conditions suivantes :
- Pour tout x appartenant à l'intervalle [A; +l'infini[, g(x)<f(x)<h(x);
- Les fonctions g et h ont pour limite L en +l'infini
alors la fonction f a pour limite L en +l'infini

Demonsttration de cours
En utilisant la définition précédente démontrer le théorème énoncé ci dessus.

Je ne comprends pas la démostration à faire puisque pour moi le théorème prouve la définition.

Pouvez s'il vous plait m'expliquer la difference entre le théorème et la définition.

Par avance je vous en remercie

Elotwist



*** message déplacé ***

Posté par
Nightmarere : Comment démontrer un resultat de cours ? (limite et logaryt 15-02-05 à 19:33

Bonjour

Une maniére de le démontre consiste a partir de la propriété :
\lim_{x\to +\infty} \frac{e^{x}}{x}=+\infty
=>
\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{e^{x}}=0

En posant x=ln(X) :
\lim_{X\to +\infty} \frac{ln(X)}{X}=0

Maintenant est-ce que l'on suppose cette propriété connue , c'est la question ...

Alors on peut la démontrer :

On sait que pour tout x e^{x}\ge 1+x ( ca aussi on peut le démontrer )
On a donc en particulier :
e^{x}\ge x
donc
e^{\frac{x}{2}}\ge \frac{x}{2}
puis en élevant au carré ( on a le droit , les deux membres étant positifs ) :
e^{2\frac{x}{2}}\ge \frac{x^{2}}{4}
soit
e^{x}\ge \frac{x^{2}}{4}
donc
\frac{e^{x}}{x}\ge \frac{x}{4}

or , \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{4}=+\infty
donc
\lim_{x\to +\infty} \frac{e^{x}}{x}=+\infty


jord

Posté par
elotwistComment démontrer un resultat de cours ? (limite et logarythme) 16-02-05 à 14:52

J'ai bien compris cette manière de procéder, mais justement, je n'arive pas à le démontrer à partir de la définition qui m'est proposée.

A bientot

Elotwist


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1677 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !