Cet enoncé est étrange ! Il faudrait qu'on comprenne ce que sont les points les plus proches d'un sommet, et qu'est qu'un sommet opposé dans un carré !
Je n'avais jamais vu ça avant.

C'est un truc comme sur mon dessin ?

Dans le dessin, j'ai pris n = 3.

Je poursuis en supposant le principe que j'ai proposé correct.

Prenons 1 comme coté du carré ABCD.

FB = (n-1)/n
tg(x) = n/(n-1)

Aire(ABF) = (1/2.)(n-1)/n
HB = FB.cos(x)
HF = FB.sin(x)
Aire(HFB) = (1/2).HB.HF = (1/2).FB².sin(x).cos(x)
Aire(HFB) = (1/2)((n-1)²/n²).tg(x)/(1+tg²(x))
Aire(HFB) = (1/2)((n-1)²/n²).(n/(n-1))/(1+(n/(n-1))²)
Aire(HFB) = (1/2)(n-1)³/(n.(2n²-2n+1))

Aire(carré central) = Aire(ABCD) - 4.aire(ABF) + 4 aire(HFB)
Aire(carré central) = 1 - 2((n-1)/n) + 2.(n-1)³/(n.(2n²-2n+1))

Si on veut Aire(carré central) = 1/1985 ->
1 - 2((n-1)/n) + 2.(n-1)³/(n.(2n²-2n+1)) = 1/1985

on trouve n = 32
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Sauf distraction ou erreur.  

oui c'est ca, merci beaucoup