Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau enseignement
Partager :

Comment montrer ceci au eleves du terminal

Posté par
aboutaki
08-03-08 à 22:42

Comment montrer a un eleve de terminal que \displaystyle{(\forall x>0): \lim_{n \to +\infty} \frac{x^{n}}{n!}=0}.
c est bien clair que c est le reste de la serie approchant la fonction exponentielle. Mais pour des eleves du terminl? je sais pas.

Merci de me repondre.

Posté par
gui_tou
re : Comment montrer ceci au eleves du terminal 08-03-08 à 22:48
Posté par
aboutaki
re : Comment montrer ceci au eleves du terminal 08-03-08 à 22:51

bonjour, a propos de la question que j ai poste, j ai oublie de mentionner que c est trivial si 0<x<1.
reste donc le cas x>1

Posté par
gui_tou
re : Comment montrer ceci au eleves du terminal 08-03-08 à 22:55

Une solution est de passer par l'étude de la suite de terme général : 3$\rm(\forall n\in\mathbb{N}),\;(\forall x\in\mathbb{R}),\;U_n=\fr{x^n}{n!

On étudie alors le quotient 3$\rm\fr{U_{n+1}}{U_n. En montrant que ce quotient tend vers 0, on conclut quant à la convergence de 3$\rm(U_n)


Posté par
aboutaki
re : Comment montrer ceci au eleves du terminal 08-03-08 à 23:02

oui ceci donne que le quotient tend vers 0, la suite etant positive elle est donc strictement decroissante a partir d un certain rang...et apres?

Posté par
gui_tou
re : Comment montrer ceci au eleves du terminal 08-03-08 à 23:06

Et après ? Décroissante et minorée par 0, elle converge vers un réel L tel que 3$\rm\fbox{L\ge0.

On montre ensuite que seule la solution 3$\rm\fbox{L=0 convient, puisque si 3$\rm\fbox{L>0 alors le quotient 3$\rm\fr{U_{n+1}}{U_n tendrait vers 1.

Donc 3$\rm \lim_{n\to+\infty} U_n=0

La solution de Jean-Seb sur mon lien est élégante

Posté par
aboutaki
re : Comment montrer ceci au eleves du terminal 08-03-08 à 23:11

Et bien oui, vous avez raison.
Merci

Posté par
aboutaki
re : Comment montrer ceci au eleves du terminal 08-03-08 à 23:12

c est qoui cette phrase: La solution de Jean-Seb sur mon lien est élégante  

je vois aucun lien

Posté par
gui_tou
re : Comment montrer ceci au eleves du terminal 08-03-08 à 23:12

Après mon bonsoir La maison était un lien ^^

Cliquez ici >> passer à la limite?... <<

Posté par
aboutaki
re : Comment montrer ceci au eleves du terminal 08-03-08 à 23:16

desole, j ai pas habitude du forum
Merci

Posté par
gui_tou
re : Comment montrer ceci au eleves du terminal 08-03-08 à 23:17

Pas grave ^^

Voui donc jeanseb utilise la série géométrique de raison 0 < raison < 1. Sympa !

Posté par
plumemeteore
re : Comment montrer ceci au eleves du terminal 09-03-08 à 12:50

bonjour Aboutaki
voici d'abord une explication quand x est entier
pour tout x entier : x est inférieur à x²!
en effet, on peut associer à chaque paire x*x de x un paire (1+k)(x²-k) de x²! qui lui est égale ou supérieure :
(1+k)(x²-k) = x²-k+kx²-k²
kx²-k²-k = k(x²-k-1) est positif ou nul puisque k+1 ne peut dépasser x²/2
donc x/x! = 1
à partir de n = x, pour passer au terme suivant, on multiplie la fraction par x/n, x/n devenant aussi petit que l'on veut et tendant vers zéro
or à un moment donné la fraction passe au-dessous de 1; elle tend donc elle-même vers zéro

tout simplement, on pourrait dire aussi qu'à partir du moment où n dépasse x, la fonction cesse de croître tout en n'ayant pas atteint l'infini; puis elle subira des multiplications par des nombres inférieurs à 1 et tendant vers zéro; la fonction tendra elle-même vers zéro



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !