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Commutateur & Calcul

Posté par
crabenfolie 13-10-16 à 23:40

Bonsoir , voilà j'ai du mal à comprendre des les calculs d'un commutateur :

On a les opérateurs suivants :

\hat{\vec{r}}=(\hat{x},\hat{y},\hat{z}) \\ \hat{\vec{p}}=(\hat{P_x},\hat{P_y},\hat{P_z})=\frac{\hbar}{i}\vec{\nabla}

\hat{x}=x \ \ \hat{y}=y \ \ \hat{z}=z \\ \hat{P_x}= P_x \ \ \hat{P_y}=P_y \ \ \hat{P_z}=P_z

On calcule le commutateur suivant:

[\hat{y}\hat{P_z}, \hat{z}\hat{P_x}]=yP_zzP_x-zP_xyP_z \\ =P_zyzP_x-zP_xP_zy \\=P_zzyP_x-zP_zP_xy \\=P_zzyP_x-zP_zyP_x \\=(P_zz-zP_z)yP_x \\=[P_z,z]yP_x

J'ai du mal à comprendre comment on aboutit à ce résultat? Par quelle règles?

Je comprends par exemple la première ligne il s'agit de la formule [A,B]=AB-BA.

Mais ensuite,dans la 2°ligne,  qu'est-ce qui nous permet de changer l'ordre des différents termes ?
A partir du moment, on pourrait très bien écrire que ce commutateur vaut 0...Si on permute 2 termes côte à côte dans AB doit-on en faire autant dans BA?

En vous remerciant par avance pour votre aide.

Posté par
DOMOREAre : Commutateur & Calcul 14-10-16 à 13:53

bonjour,
Pourrais tu nous expliquer tes notations ? Que représentent tes lettres surmontées de chapeaux? Des différentielles ?  mais alors pourquoi \widehat{x}=x,...
Que sont  les  P_x, P_y,P_z ? Sont -ce les composantes d'un gradient  d'une fonction  f(x,y,z)? et que signifie \widehat{P_x}=P_x ?

Posté par
crabenfoliere : Commutateur & Calcul 14-10-16 à 14:41

Bonjour, pardon j'ai mal compris les notations, je redonne l'énoncé de l'exercice correctement:

On a les opérateurs suivants :

\hat{\vec{r}}=(\hat{x},\hat{y},\hat{z}) \\ \hat{\vec{p}}=(\hat{P_x},\hat{P_y},\hat{P_z})=\frac{\hbar}{i}\vec{\nabla}

Donc\ \ \hat{P_x}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x} \ \ \hat{P_y}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial y} \ \ \hat{P_z}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial z}


On calcule le commutateur suivant:

[\hat{y}\hat{P_z}, \hat{z}\hat{P_x}]=\hat{y}\hat{P_z}\hat{z}\hat{P_x}-\hat{z}\hat{P_x}\hat{y}\hat{P_z} \\ =\hat{P_z}\hat{y}\hat{z}\hat{P_x}-\hat{z}\hat{P_x}\hat{P_z}\hat{y} \\=\hat{P_z}\hat{z}\hat{y}\hat{P_x}-\hat{z}\hat{P_z}\hat{P_x}\hat{y} \\=\hat{P_z}\hat{z}\hat{y}\hat{P_x}-\hat{z}\hat{P_z}\hat{y}\hat{P_x} \\=(\hat{P_z}\hat{z}-\hat{z}\hat{P_z})\hat{y}\hat{P_x} \\=[\hat{P_z},\hat{z}]\hat{y}\hat{P_x}


J'ai du mal à comprendre comment on aboutit à ce résultat? Par quelle règles?

Je comprends par exemple la première ligne il s'agit de la formule [A,B]=AB-BA.

Mais ensuite,dans la 2°ligne,  qu'est-ce qui nous permet de changer l'ordre des différents termes ?
A partir du moment, on pourrait très bien écrire que ce commutateur vaut 0...Si on permute 2 termes côte à côte dans AB doit-on en faire autant dans BA?

Voilà, j'espère que l'énoncé est plus clair.

Posté par
DOMOREAre : Commutateur & Calcul 14-10-16 à 15:20

bonjour,
déjà on peut laisser de côté le coeff \frac{h}{i} qui est une constante
pour l'opérateur  \widehat P_z,  x est une contante, donc cela ne change rien d'écrire \widehat P_z x

Posté par
crabenfoliere : Commutateur & Calcul 14-10-16 à 15:31

oui \hat{x} est une constante donc quand j'écris \hat{P_z}\hat{x} je dois avoir \hat{P_z}\hat{x}=0 car la dérivée d'une constante est nulle?

Mais ce que ne comprend pas ici surtout, c'est la façon de permuter les termes comme par exemple, à la deuxième ligne, pour le calcul du commutateur...

Posté par
DOMOREAre : Commutateur & Calcul 14-10-16 à 15:42

re,
tu mélanges tout, il s'agit d'un opérateur

(d/dz)(x g(x,y,z))=x(d/dz)(g(x,y,z))

Posté par
crabenfoliere : Commutateur & Calcul 14-10-16 à 16:06

Alors si maintenant j'ai mieux compris \hat{x} est un opérateur qui est une application s'exprimant comme le produit de x et d'une fonction d'autres variables (ici x,  y et z)  et donc je peux dire que \hat{P_z}\hat{x} \neq \hat{x}\hat{P_z} ?

Posté par
DOMOREAre : Commutateur & Calcul 14-10-16 à 16:55

re,
c'est le contraire, il y a égalité

Posté par
crabenfoliere : Commutateur & Calcul 14-10-16 à 22:05

Pourquoi est ce qu'il y a égalité?

\hat{P_z}\hat{x}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial z}\hat{x}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial z}(xg(x, y, z))=\frac{\hbar}{i}x\frac{\partial }{\partial z}(g(x, y, z)) \\ \hat{x}\hat{P_z} =xg(x,y, z)\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial z}=\frac{\hbar}{i} xg(x, y, z)\frac{\partial }{\partial z}

Ce sont 2 expressions différentes.
De plus si \hat{x}=xg(x, y, z) est un opérateur qui est une application s'exprimant comme le produit de x et d'une fonction d'autres variables (ici x,  y et z) pourquoi n'en est il pas de même pour \hat{P_z}?

Plus fondamentalement, je crois ne pas avoir compris comment fonctionne un opérateur...

Posté par
crabenfoliere : Commutateur & Calcul 15-10-16 à 02:30

ok, c'est bon je pense avoir un peu mieux compris...\hat{P_z}\hat{x} =\hat{x}\hat{P_z} j'ai compris pourquoi il y a égalité.

dans le calcul du commutateur le sens de lecture est très important.

Par exemple \hat{P_z}\hat{y}\hat{z}\hat{P_x}=\hat{P_z}\hat{z}\hat{y}\hat{P_x}.
Je peux écrire cette égalité parce qu'elle ne change pas mon expression...Mais est-ce que le fait d'écrire que \hat{y}\hat{z}=\hat{z}\hat{y} est une condition suffisante pour permuter ces 2 termes dans le cas général?


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