Bonjour (c'est plus sympa

Commence par traduire l'énoncé par une suite d'inégalités :

bonjour et merci bcp j ai mais sans succes

bonsoir à tous les deux,
pour "illustrer" la piste de  ZEDMAT  que je salue,

exemple
a<b
alors a²<b²

bonjour zedmat et merci j ai fait mais sans succes

Une précaution est à prendre sur le signe de a et b...

bonjour kenavo27 et m erci j ai essaye ca mais sans fin utile

salut sanantonio312

Bonjour kenavo27 ,
J'ai été induit en erreur par "pour illustrer" et "par exemple".

effectivement

bonjour,

samim : j ai fait mais sans succes

mais nous on ne vois pas ce que tu as fait vraiment car tu ne l'as pas écrit ici.
donc on ne peut ni te guider ne sachant pas exactement où tu en es, ni te dire où tu aurais fait des erreurs ...

oui c est vrai par exple
a²

a²b² et1/b-11/a-1 donc a²/b-1b²/a-1

et aussi a²/a-1b²/a-1

excuse j arrive pas a ecrire inf strictement

c'est directement au clavier !

1 < a < b < 2

c'est ça le point de départ.

etc (réécrit tout parce que c'est illisible)

par ailleurs ne pas oublier les parenthèses obligatoires

énoncé : comparer a²/(a-1) et b²/(b-1)
et dans tes calculs 1/(a-1) etc

parce que a²/a-1 veut réellement dire vraiment
(priorité des opérations, "/" n'est pas une barre de fraction, jusqu'où ??) mais une opération de division)

merci mais je vois pas comment utliser ca

Mais tu as fait le plus gros....
1<a<b<2 donc a et b sont positifs

dans ton cours tu as du voir qu'alors 1²<a²<b²<4

Pour les dénominateurs
si 1<a<b <2 alors 1-1<a-1 <b-1<2-1 soit 0<a-1<b-1<1
Que peux tu dire des inverses de a-1 et b-1 ? c'est du cours

un grand merci zedmat
1<1/b-1<1/a-1

eta²< a²/b-1<b²/a-1  oub²<b²/b-1<b²/a-1

et si je compare b²/a-1 et a²/a-1 je trouve  a²/a-1<b²/a-1 donc on peut rien conclure a propos de a²/a-1 et b²/b-1

le problème dans cette méthode est qu'on ne sait pas trop quel chemin prendre.

ceci est dû au fait que x² est une fonction croissante et 1/(x-1) parenthèses obligatoires une fonction décroissante et qu'on a donc un mal de chien à savoir si le produit des deux est croissante ou décroissante !!
tout au moins à chercher une chaine d'inégalités qui le déterminerait

autre méthode :
considérer justement que le problème est très exactement de savoir si la fonction f(x) = x²/(x-1) (j'insiste encore sur ces parenthèses obligatoires et j'insisterais jusqu'à ce que tu comprennes qu'elles SONT obligatoires) est croissante ou décroissante dans l'intervalle ]1; 2]

pour cela il s'agit de trouver le signe de

a²/(a-1) - b²/(b-1) = (a-b)[...]/[(a-1)(b-1)]

(noter les deux niveaux de parenthèses au dénominateur
.../(a-1)(b-1) sans les crochets obligatoires voudrait dire réellement [ .../(a-1)]*(b-1)
division par a-1, puis résultat multiplié par (b-1) !!
division et multiplication ont la même priorité, elles s'exécutent donc de gauche à droite :
division d'abord, puis multiplication
les crochets servent (et sont donc obligatoires) à inverser cet ordre

essaie de voir jusqu'où mène cette voie là (réduction au même dénominateur et factorisation de (a-b))

et une fois ce calcul fait, on devrait pouvoir si on veut trouver un chemin "par enchainement d'inégalités" qui serait équivalent au calcul

on s'aperçoit que tout est dans le signe de (a-1)(b-1)-1
c'est à dire de savoir si (a-1)(b-1) est plus grand ou plus petit que 1
ce qui est immédiat avec les inégalités qu'on connait déja

en partant "à l'envers", on a donc un chemin avec une chaine d'inégalités !!
chaine qui s'avèrera tout de même bien artificielle !!

Pour illustrer (cela n'a pas valeur de démonstration) ce que Mathafou vient de te dire avec beaucoup de pertinence, voici la représentation graphique que j'avais élaborée hier (tard !)...

Il me semble qu'on pourrait procéder ainsi :
On cherche si l'inégalité  
a²/(a - 1) > b²/(b - 1)  
est vraie.
On fait disparaître les dénominateurs (positifs) :
a²(b - 1) > b²(a - 1)
ab(a - b) > a² - b²
ab < a + b
1 < 1/a + 1/b
qui est vraie.

oui, bien vu.

mais perso ça me gêne un peu de partir avec comme hypothèse ce qu'on cherche à démontrer pour arriver à une non contradiction et en déduire que l'hypothèse serait vraie !
il faut bien préciser explicitement que on travaille par équivalences
sinon ça ne marche pas ce genre de démarche !!

ou ici on peut partir à l'envers pour rédiger proprement.
a et b étant 1 < a < b < 2, 1 < 1/a + 1/b
donc puisque a et b positifs
ab < a+b
etc

nota : la courbe de ZEDMAT pouvait avantageusement être étendue à ]1; +oo[ "dans un but d'illustration"
montrant que l'inégalité s'inverse si a et b sont tous deux > 2 : le point (2; f(2)) est un minimum

cher mathafou un grand merci c est genial

un grand merci au cher zedmat