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Niveau seconde
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comparaison

Posté par
Khola22
24-12-18 à 20:46

bonjour, un coup de main pour cette question     !!

Citation :
On compare 32016+42016  et  52016

Posté par
pgeod
re : comparaison 24-12-18 à 21:00

Une récurrence ?

Posté par
Khola22
re : comparaison 24-12-18 à 21:30

pgeod @ 24-12-2018 à 21:00

Une récurrence ?

comment peut on appliquer ce raisonnement ?

Posté par
pgeod
re : comparaison 24-12-18 à 21:38

3² + 4² = 9 + 16 = 25
33 + 43 = 27 + 64 = 91 < 125 = 53
Initialisation réalisée au rang 3
on suppose que 3n + 4n < 5n
et on cherche à l'établir la relation au rang n+1
Ce qui permettra de conclure au rang 2016

Posté par
Khola22
re : comparaison 24-12-18 à 21:55

pgeod @ 24-12-2018 à 21:38

3² + 4² = 9 + 16 = 25
33 + 43 = 27 + 64 = 91 < 125 = 53
Initialisation réalisée au rang 3
on suppose que 3n + 4n < 5n
et on cherche à l'établir la relation au rang n+1
Ce qui permettra de conclure au rang 2016

le rang 1 ne réalise pas ce que réalise le rang 3, est ce un problème ? ne pas généraliser sur tout n

Posté par
pgeod
re : comparaison 24-12-18 à 22:03

La propriété doit être vraie à partir d'un certain rang
et pour tout n supérieur à ce rang, ce qui semble être
le cas ici à partir du rang 3 pour l'inégalité stricte.

Posté par
pgeod
re : comparaison 24-12-18 à 22:04

Ce n'est donc pas un problème.

Posté par
Khola22
re : comparaison 24-12-18 à 22:12

pgeod @ 24-12-2018 à 22:04

Ce n'est donc pas un problème.

Merci pour ton aide !!

Posté par
pgeod
re : comparaison 24-12-18 à 22:12

Posté par
matheuxmatou
re : comparaison 25-12-18 à 00:12

bonjour

la récurrence au niveau "seconde" ?

une autre approche...

on peut aussi étudier les suites positives (3/5)n et (4/5)n

décroissantes (on multiplie par un nombre <1 à chaque rang)... et voir qu'elle sont toutes les deux inférieures à 1/2 pour n4, donc en particulier pour n=2016

Posté par
alb12
re : comparaison 25-12-18 à 12:32

salut,
il faut peut etre faire une recurrence comme M Jourdain faisait de la prose ?
Imaginons que le prof veuille donner l'idee de recurrnce ?


 \\ 3^{2016}+4^{2016}=3\times3^{2015}+4\times4^{2015}
 \\ 3^{2016}+4^{2016}\leqslant5\times3^{2015}+5\times4^{2015}
 \\ 3^{2016}+4^{2016}\leqslant5\times(3^{2015}+4^{2015})
 \\ 3^{2016}+4^{2016}\leqslant5^2\times(3^{2014}+4^{2014})
 \\ \cdots
 \\ $petite entourloupette$
 \\ \cdots
 \\ 3^{2016}+4^{2016}\leqslant5^{2014}\times(3^2+4^2)
 \\ $AQT$
 \\

Posté par
Khola22
re : comparaison 25-12-18 à 13:48

alb12 et matheuxmatou merci pour votre aide !
mais sincèrement je n'ai étudié encore ni suite ni logique ( inclure le raisonnement de récurrence ) cependant je suis fort intéressé, car les maths sont plus vaste que le programme de seconde et j'aimerais bien apprendre de nouvelles, toutes nouvelles choses, c'est pour cela que j'ai essayer de comprendre l'idée de pgeod, et c'était génial. mais je me suis bloquée au niveau de la démonstration P(n+1) et veuillez m'aider a ça SVP
pour les suites, matheuxmatou je dois apprendre cette nouvelle leçon avec ses notions ..., et pour la méthode de alb12 mais j'ai pas compris ce que vous avez fait ou pourquoi vous avez donne a 5 la puissance 2, prise de 4 et 3 ?? surtout pourquoi vous avez échangé les exposant entre les facteurs ? ?? veuillez m'éclaircir cela SVP
merciii a vous tous

Posté par
alb12
re : comparaison 25-12-18 à 17:13

le procede utilise pour passer de la ligne 1 à la ligne 2 tu le reitere pour passer de la ligne 3 à la ligne 4

Posté par
Khola22
re : comparaison 25-12-18 à 18:02

alb12 @ 25-12-2018 à 17:13

le procede utilise pour passer de la ligne 1 à la ligne 2 tu le reitere pour passer de la ligne 3 à la ligne 4

j'ai pas bien compris

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : comparaison 25-12-18 à 18:40

Bonjour,
Une autre piste peut-être : 32 + 42 = 52

On a 91008 + 161008 d'une part et (9+16)1008 d'autre part.

Si on connait la formule du binôme, c'est plié.
Mais il y a peut-être moyen de faire sans ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : comparaison 25-12-18 à 18:51

J'essaye de répondre à ton message de 18h02 car alb12 ne semble pas disponible.
On démontre 32015+42015 5 (32014+42014)
avec le même procédé que pour démontrer
32016+42016 5 (32015+42015)

Posté par
alb12
re : comparaison 25-12-18 à 20:00

@Khola22
tu es bien en seconde ? en France ?
est-ce ton professeur qui pose cet exercice ?

sur ma proposition:
montre que:


 \\ 3^{n}+4^{n}\leqslant5\times(3^{n-1}+4^{n-1})
 \\

et applique cette inegalite pour n=2016, n=2015, n=2014, ... , n=3

rappels
1/ recurrence: programme de terminale
2/ suite geometrique: programme de premiere
3/ formule du binome: n'est pas au programme du lycee



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