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Niveau terminale
Comparaison de deux proportions
Posté par Plot
Bonjour,
Supposons que nous ayons tiré deux échantillons donnant lieu à deux fréquences fA et fB d'un certain critère dans deux populations EA et EB. On cherche à savoir si les proportions du critère pA dans EA et pB dans EB peuvent être considérée comme "égales".
Le test utilisé est le suivant : on calcule les intervalles de confiance IA et IB associés aux fréquences fA et fB; si ces intervalles sont disjoints on considère que la différence entre fA et fB est significative et que les proportions pA et pB sont différentes; si ces intervalles ne sont pas disjoins on considère que la différence entre fA et fB n'est pas significative et que les proportions pA et pB sont "égales".
J'ai essayé de calculer le risque de conclure à des proportions distinctes à tort. Pouvez-vous me dire si le raisonnement suivant est juste ?
Supposons que nous ayons une population E pour laquelle un caractère donné est en proportion p. Introduisons la variable aléatoire F qui à tout échantillon de taille n associe la fréquence du caractère dans l'échantillon (on considère que la prise d'échantillon s'effectue au hasard et avec remise). Notons IF(p) l'intervalle de fluctuation de p au seuil de 95% et IC(F) l'intervalle de confiance au seuil de 95% de p.
Alors d'où
Considérons l'expérience aléatoire qui consiste à tirer successivement et indépendamment deux échantillons de taille n dans E. Notons la fréquence du caractère dans le premier échantillon et
la fréquence du caractère dans le deuxième échantillon. Les tirages étant indépendants, les variables
et
sont indépendantes et de même loi. Ainsi les évènements
et
sont indépendants d'où
Ce qui permettrait de conclure que le risque de rejeter à tort l'hypothèse "les proportions sont identiques" serait de environ 10%.
Qu'en pensez-vous ?
Merci
salut,
le test de comparaison de 2 proportions (apres la terminale) se realise
comme l'indique le programme suivant:
/******************************************************************
******** Test bilatéral de comparaison de deux proportions ********
******************************************************************/
Comparer2proportions(n1,x1,n2,x2,alpha):={
//n1 (n2):taille de l'échantillon 1 (2),
//x1 (x2):nombre d'individus présentant le caractère dans l'échantillon 1 (2)
//H0:p1 est égal à p2,H1:p1 est différent de p2
//alpha:risque
local Uobs,Uth,p;
si n1<30 ou n2<30 alors
afficher("Attention l'un au moins des deux échantillons a une taille inférieure à 30");
fsi
si x1<5 ou x2<5 ou n1-x1<5 ou n2-x2<5 alors
afficher("Attention l'un au moins des 4 effectifs est inférieur à 5")
fsi
p:=(x1+x2)/(n1+n2);
Uobs:=evalf(abs(x1/n1-x2/n2)/sqrt(p*(1-p)*(1/n1+1/n2)));
Uth:=normal_icdf(1-alpha/2);
afficher("Uobs="+Uobs+" et Uth="+Uth);
si Uobs>Uth alors
afficher("Au risque "+(alpha)+" on rejette l'hypothèse H0");
retourne 0
sinon
afficher("Au risque "+(alpha)+" on ne rejette pas l'hypothèse H0");
retourne 1
fsi
}
:;
Pour un test au risque 5%,
le risque de rejeter une hypothese vraie est egal à 5%
Merci pour votre réponse. Je travaillerai ce soir à la compréhension du test que vous venez de me décrire.
Mais pouvez-vous me dire si mon raisonnement tient la route ou s'il est totalement faux ?
Bonne journée.
En fait ce test s'appuie sur la loi suivie par la difference de 2 variables normales.
Le risque d'erreur n'est pas le double du risque choisi.
Je dirais donc que ton raisonnement ne tient pas.
Bonjour,
J'ai bossé le test dont vous parlez, j'ai trouvé des cours la dessus.
Mais il me semble que le test que vous décrivez et celui que j'ai décrit non sont pas équivalents et donc nous ne pouvons pas comparer les risques d'erreur.
Après quelques recherches, la procédure que vous décrivez n'est pas équivalente à celle que je décris.
Effectivement dans ton raisonnement le risque n'est pas de 0.05
Où as-tu trouve cette façon de comparer 2 proportions ?
Mon raisonnement doit être vraiment faux car dans ce papier, la procédure par intervalle de confiance est "moins risquée" que la procédure de test d'hypothèse (risque 5%).
Mais je ne vois pas à quel moment je dis quelque chose de faux.
Même "démonstration" dans le document d'accompagnement 
La procédure par intervalle de confiance est plus sévère, donc le risque est inférieur à 5% dans cette procédure.
dans un test,
le risque de rejeter une hypothese vraie est une probabilite conditionnelle qui vaut 0.05
le risque d'accepter une hypothese fausse n'est en general pas calculable ce n'est pas 0.95
C'est probablement là ton erreur