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Niveau Prepa (autre)
Comparaison de moyennes avec n < 30
Posté par Felhaus
Bonjour !
J'ai un exercice qu'il me semble avoir résolu aux trois-quarts mais me pose 2-3 interrogations. Le voici :
"Une entreprise fabrique des céréales qu'elle conditionne dans des sachets anonymes pour des distributeurs qui se chargeront de placer ces sachets dans un packaging. Les mêmes céréales sont donc vendues sur le marché européen en boîtes de 180 grammes et sur le marché britannique en boites de 170 grammes. Afin de contrôler la fiabilité de son fournisseur, un distributeur décide de prélever aléatoirement un échantillon de 15 boîtes destinées au marché européen et obtient un poids moyen de 176g et une variance empirique de 145.
1) Faut-il s'inquiéter de ce résultat? (a = 5%)
En fait, la crainte du vendeur de céréales est d'avoir mis des sachets de 170 grammes dansles boites prévues pour le marché européen de 180 grammes.
2) Si l'on se base sur le test de la question précédente, quelle est la probabilitéde détecter ce problème ? À quelle notion fondamentale de la théorie des tests se réfère cette problématique ?"
Q1) Je fais un test de Student pour comparer 176 et 180 où je trouve t = -1,28 < à 2,1448 (en valeur absolue) : je ne rejette pas l'hypothèse. Mais cela nécessite la normalité des valeurs, or, quand c'est le cas c'est généralement dit par l'exercice. Ai-je donc raison de faire Student néanmoins ?
Q2) Mon premier réflexe est de chercher la borne inférieure de l'intervalle des boîtes de 180 grammes avec un test de Student, soit 180 - 2,1448*
(145/15) = 173,33. Est-ce qu'ensuite j'utilise la fonction de répartition de la loi normale en comparant 173,33 à 170 ? Je sens qu'il y a un problème... 
Merci d'avance !
Felhaus
Bonjour,
en général on suppose que la masse d'un sachet suit une loi normale d'écart-type à peu près connu. Son maximum étant indirectement fixé par des normes légales.
En terme de qualité on dit que le processus est « sous contrôle ».
Je ne me souviens plus des normes, qui ont sans doute changées depuis 20 ans, mais avec un écart-type mesuré de plus de 12g on est clairement en dehors des limites légales.
verdurin @ 29-02-2020 à 15:52
Bonjour,
en général on suppose que la masse d'un sachet suit une loi normale d'écart-type à peu près connu. Son maximum étant indirectement fixé par des normes légales.
En terme de qualité on dit que le processus est « sous contrôle ».
Je ne me souviens plus des normes, qui ont sans doute changées depuis 20 ans, mais avec un écart-type mesuré de plus de 12g on est clairement en dehors des limites légales.
Bonjour,
en général on suppose que la masse d'un sachet suit une loi normale d'écart-type à peu près connu. Son maximum étant indirectement fixé par des normes légales.
En terme de qualité on dit que le processus est « sous contrôle ».
Je ne me souviens plus des normes, qui ont sans doute changées depuis 20 ans, mais avec un écart-type mesuré de plus de 12g on est clairement en dehors des limites légales.
Bonjour Verdurin
,
J'apprécie la réponse... Mais elle ne répond pas à la question que je pose ! En l'occurrence il s'agit d'un problème posé dans une annale d'un concours de la haute fonction publique ; mes questions portent en soi sur la résolution mathématique du problème.
Salut pour la première question, je dirais qu un intervalle de confiance à 95% suffirait
[ 180-1,96.12,04/15, 180+1,96.12,04/15]
Avec comme écart type utilisé 
'=(/n
flight @ 29-02-2020 à 17:25
Salut pour la première question, je dirais qu un intervalle de confiance à 95% suffirait
[ 180-1,96.12,04/15, 180+1,96.12,04/15]
Avec comme écart type utilisé'=(/n
Salut pour la première question, je dirais qu un intervalle de confiance à 95% suffirait
[ 180-1,96.
12,04/15, 180+1,96.12,04/15]
Avec comme écart type utilisé
'=(/nBonjour flight,
Malheureusement, les échantillons sont trop petits (n < 30) donc il faut obligatoirement passer par Student non ? (auquel cas ce que j'ai écrit dans la première question est correct, mais comme je pose justement la question...)
J'ai essayé de prendre 15 nombres, qui nous donnent une moyenne et un écart-type conformes aux données de l'exercice.
On trouve des solutions... Par exemple en mettant 12 sachets de 171g, et 3 sachets aux environs de 200g. Ou sinon, plein de solutions possibles, en mettant des sachets d'environ 170g et d'autres d'environ 180g.
Mais forcément, on est obligé de mettre au moins 4 ou 5 sachets qui sont beaucoup plus proches de 170g que de 180g.
Le problème, c'est que si on prend 8 sachets d'environ 180g, et 7 sachets d'environ 170g, on obtient bien à peu près la moyenne voulu, mais on est très loin de la variance demandée.
On est obligé d'avoir des sachets de plus de 190g, ou de moins de 160g pour obtenir ces résultats. Donc des sachets qu'on ne peut pas considérer comme adapté au marché européen, ni au marché anglais.
Mathématiquement on a 15 variables aléatoires, on ne peut même pas supposer qu'elles ont une espérance, ce n'est pas dit dans l'énoncé.
Les questions sur la moyenne n'ont pas de sens.
L'histoire racontée peut laisser penser qu'elles suivent à peu près une loi normale et qu'elles sont indépendantes.
Dans ce cas l'usage d'un test de Student est justifié même pour de « petites » valeurs de n.
Mais la valeur estimée de la variance est aberrante. ( Voir le message de ty59847 ).
Si c'est toi qui l'a calculée( je ne le crois pas vraiment ) refait le calcul.
Ce que je crois sur cet énoncé.
Il a été écrit par quelqu'un qui n'a pas fait attention aux valeurs numériques.
En principe on devrait avoir quelque chose du genre : la masse des sachets pour l'Angleterre suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type sA, la masse des sachets pour le continent suit une loi normale de moyenne 180 et d'écart-type sC.
Et à la question 2 on te demande de décomposer la variance.
salut,
Q1) Je fais un test de Student lequel ?
pour comparer 176 et 180 aucun sens
où je trouve t = -1,28 < à 2,1448 (en valeur absolue) : -1.28 aucun sens
je ne rejette pas l'hypothèse.
Mais cela nécessite la normalité des valeurs, or, quand c'est le cas c'est généralement dit par l'exercice. Ai-je donc raison de faire Student néanmoins ? sans cette hypothese on ne peut rien faire donc...
verdurin @ 29-02-2020 à 19:59
Mathématiquement on a 15 variables aléatoires, on ne peut même pas supposer qu'elles ont une espérance, ce n'est pas dit dans l'énoncé.
Les questions sur la moyenne n'ont pas de sens.
L'histoire racontée peut laisser penser qu'elles suivent à peu près une loi normale et qu'elles sont indépendantes.
Dans ce cas l'usage d'un test de Student est justifié même pour de « petites » valeurs de n.
Mais la valeur estimée de la variance est aberrante. ( Voir le message de ty59847 ).
Si c'est toi qui l'a calculée( je ne le crois pas vraiment ) refait le calcul.
Ce que je crois sur cet énoncé.
Il a été écrit par quelqu'un qui n'a pas fait attention aux valeurs numériques.
En principe on devrait avoir quelque chose du genre : la masse des sachets pour l'Angleterre suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type sA, la masse des sachets pour le continent suit une loi normale de moyenne 180 et d'écart-type sC.
Et à la question 2 on te demande de décomposer la variance.
Mathématiquement on a 15 variables aléatoires, on ne peut même pas supposer qu'elles ont une espérance, ce n'est pas dit dans l'énoncé.
Les questions sur la moyenne n'ont pas de sens.
L'histoire racontée peut laisser penser qu'elles suivent à peu près une loi normale et qu'elles sont indépendantes.
Dans ce cas l'usage d'un test de Student est justifié même pour de « petites » valeurs de n.
Mais la valeur estimée de la variance est aberrante. ( Voir le message de ty59847 ).
Si c'est toi qui l'a calculée( je ne le crois pas vraiment ) refait le calcul.
Ce que je crois sur cet énoncé.
Il a été écrit par quelqu'un qui n'a pas fait attention aux valeurs numériques.
En principe on devrait avoir quelque chose du genre : la masse des sachets pour l'Angleterre suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type sA, la masse des sachets pour le continent suit une loi normale de moyenne 180 et d'écart-type sC.
Et à la question 2 on te demande de décomposer la variance.
Merci pour ces éclaircissements, à ty59847 également ! Alors pour ce qui est du sujet, la variance est donnée... Mais en plus il s'agit d'une annale d'un concours de la haute-fonction publique ! (Concours 2019 de Directeur d'établissement sociaux et médico-sociaux). Bien ça qui m'inquiète !
Je comprends ce que vous dites sur la variance un peu dingue, mais la question 1 comptait pour 2 points (sur 4 au total), je ne peux donc pas imaginer qu'il ne faille pas faire un test. Quel exercice mal posé vraiment.
Que voulais-tu dire en revanche sur la décomposition de la variance ? Là je te suis moins.