Comparaison de quatre moyennes.
Soit a et b deux nombres strictement positifs. On appelle: -moyenne arithmétique de ces deux nombres le nombre m égal à (a+b)/2
-moyenne géometrique le nombre g égal à ab
-moyenne harmonique le nombre h tel que (2/h)=(1/a)+(1/b)
-moyenne quadratique le nombre q égal à (a^{[/sup]+b[sup]})/2
1. a. démontrer que h=(2ab)/(a+b)
b. démontrer que hm=g^{[/sup]
c. dans la suite des inégalités suivantes, justifier chacune des étapes:
g<m
hg<hm
hg<g[sup]}
puis en déduire la comparaison de h et g.

2. a. Démontrer que (2ab)/(a+b)-a=(2(b-a))/(a+b)
b. en déduire que a<h
3. comparer m et q.
4. démontrer que q<b.
5. à l'aide des questions précédentes, ranger dans l'ordre croissant les nombres a, b et les quatres moyennes des ces nombres.

Je vous remercie d'avance pour votre aide