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comparaison dm 2° pour demain
S'il vous plait je n'arrive pas à faire cet exercice:
Soit 0<a<b
m=(a+b)/2
g=racine(aXb)
1.Montrer que m-a>0 et que m-b<0
En déduire que a<m<b
2.Montrer que (g/a)>1 et (g/b)<1
En deduire que a<m<b
3.Montrer que 4(m²-g²)>(ou égal)0
Quel est le signe de m-g?
En deduire que g<m
Finalement a<racine(aXb)<(a+b)/2<b
J'ai vraiment cherché mais je vois pas du tout comment faire
Merci d'avance si quelqu'un trouve...
1) m=(a+b)/2<(b+b)/2 car a<b
donc m<2b/2 soit m<b ou encore m-b<0
m=(a+b)/2>(a+a)/2 car b>a
donc m>2a/a soit m>a ou encore m-a>0
2) a<b donc a²<ab (on multiplie par a de chaque côté, a est positif
strict)
par conséquent, la fonction racine étant croissante sur [0;+inf[, on
a :
racine(a²)<racine(ab) et comme a>0 ce résultat s'écrit : a<g ou encore g/a>1 (en divisant
par a>0 de chaque côté).
Pour le deuxième résultat, c'est la même chose.
Le fait que a<m<b est une conséquence de la première question, donc
cette question n'est pas à sa bonne place.
3) m²-g²=(a+b)²/4-ab
donc 4(m²-g²)=(a+b)²-4ab=a²+2ab+b²-4ab=(a-b)²>=0 (un carré est positif)
Comme 4(m²-g²)=4(m-g)(m+g) et que m+g>0 on a : m-g>0 (produit de deux positifs)
soit m>g
La question finale est une simple déduction des résultats précédents.
Finalement, UN EXERCICE ASSEZ SIMPLE pour un élève sérieux de seconde !!!
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