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Comparaison entre sommes de sous-espace vectoriels

Posté par
Dodria 08-04-21 à 13:55

Bonjour,
j'ai essayé de résoudre un exercice en algèbre, mais je ne parviens pas à le résoudre, voici l'exercice en question:
"Soient F,G,H trois sous-espaces d'un espace vectoriel E.
Comparer F ∩(G+ (F ∩H)) et (F ∩G) + (F ∩H)."
je sais qu'à la fin il faut montrer que les deux sont égaux, mais je ne sait pas comment utiliser les théorèmes et propriétés des sous-espaces vectoriels pour montrer qu'ils sont égaux.
Merci pour votre temps.

Posté par
matheuxmatoure : Comparaison entre sommes de sous-espace vectoriels 08-04-21 à 13:57

bonjour

montre la double inclusion...

1 : si x FG + FH ...

Posté par
Dodriare : Comparaison entre sommes de sous-espace vectoriels 08-04-21 à 14:46

je pense avoir trouvé comment montrer la première inclusion

si  x \in (F \cap G)+(F \cap H) alors il existe (y,z) \in (F \cap G) \times (F \cap H) tel que  x = y + z
on a   y \in G donc   x = y + z \in G+(F \cap H) , d'autre part on a
y \in F et   z \in F donc   x \in F
comme   x \in F et   x \in G+F\cap H alors   x \in F \cap (G+(F \cap H))

Posté par
Dodriare : Comparaison entre sommes de sous-espace vectoriels 08-04-21 à 15:00

pour l'autre inclusion je suis pas sur si c correcte

si x \in F \cap (G + (F \cap H)) alors x \in F et x \in G + (F \cap H) donc \exists (y,z) \in G \times (F \cap H) tel que x = y + z
comme x \in F et z \in F et F est un sous-espace vectoriel, ceci implique que y \in F car sinon, comme l'addition des vecteurs de F est une loi de composition interne, le résultat de y + z \notin F, si y \in F et y \in G alors y \in F \cap G , donc finalement x \in (F \cap G) + (F \cap H)
est ce que mon raisonnement est correct ?

Posté par
Ulmierere : Comparaison entre sommes de sous-espace vectoriels 08-04-21 à 15:37

Oui, mais tu justifies mal pourquoi y\in F dans ta seconde inclusion. C'est tout simplement parce que (F,+) est un groupe, qu'il est stable par différences

Posté par
Dodriare : Comparaison entre sommes de sous-espace vectoriels 08-04-21 à 15:41

oui c vrai, je savais que je l'ai mal justifié, merci à vous !

Posté par
matheuxmatoure : Comparaison entre sommes de sous-espace vectoriels 08-04-21 à 16:43

même remarque que Ulmiere pour la deuxième :

x F et z F

donc

y = x + (-1) z F

etc ...


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