Voici l'ennoncé et une partie de mon raisonnement

raisonnement suite

salut

tu devrais relire le mode d'emploi : toutes ces images sont interdites telles quelles ...

je ne comprends pas ces ...

je t'invite à faire un graphique avec ggb

vu la décroissance de f on a simplement :  

Ah je pensais que c'était autorisé pour partagé mes résultats .
Je dois apprendre à écrire en ggb alors désolé encore !
J'ai pris k+2  au lieu de k+1 et k+1 au lieu de k d'où le +2

Bonsoir mathmusic, je crois qu'il n'y a pas de problème quand tu partages ce que tu tentes, mais l'énoncé doit être écrit à la main pour le référencement. Peux-tu écrire ton énoncé complet (en le tapant à la main) à la suite de mon message ? Merci

Yes , pas de problème !

Soit B >= 0. On définit la suite :


1. Montrer que la fonction f(x) = 1/x^B + 1 est décroissante sur ]1, + inf] pour B > 0
2.En utilisant une comparaison avec une intégrale, déterminer un équivalent de Tn lorsque n -> + inf , selon la valeur de B.

Bonjour mathmusic,

Il faut être prudent avec l'utilisation des équivalents. Par exemple, pour :


Pourtant, un calcul explicite des intégrales permet de conclure que



est faux. La première integrale tend vers 1 et la deuxième vers pi/2..

Pi/4 *

Vu la forme, j'ai le sentiment que cet exercice vient de ChatGPT ? Est-ce le cas ?

Ceci me chagrine : si , la série est convergente. Déterminer un equivalent revient alors à déterminer la limite. Et ceci me paraît bien difficile.

il ne doit pas y avoir de 2 !!

en posant il faut comparer avec m variant entre n - 1 et n + 1 et avec des constantes éventuelles (du genre f(1) ou f(n) ou f(n + 1) ...) pour obtenir quelque chose comme



ensuite alors calculer ces intégrales (le plus dur) et ensuite déterminer un équivalent ...

Bon. Il faut que cette affaire avance ! Haha

On , on a directement : .
Dans la suite, je suppose .

On montre facilement que la fonction est strictement décroissante sur en étudiant par exemple sa dérivée. On en conclut donc que, pour tout , et pour tout , on a , d'où l'encadrement

,

puis, pour tout ,

.

Ainsi, on déduit l'encadrement suivant, pour tout :

,

où l'on a posé .

Notons que, pour tout , par stricte positivité de sur son ensemble de définition. Du coup, le réflexe classique ici est de dire que l'on prend l'encadrement ci-dessus et on divise tout le monde par , strictement positif pour , pour obtenir que , mais ici il semblerait que cela puisse coincer a priori. En effet, faisons-le :

Pour tout , on a :
.  

A gauche, on a : .

La fonction est strictement croissante sur , donc converge vers un nombre réel strictemnt positif ou diverge vers . Dans les deux cas, il existe tel que .

De, plus, on a évidemment, pour , .

Première conclusion : la bonne nouvelle, c'est que le membre de gauche dans l'encadrement va toujours tendre vers 1, pour tout .

Mais, là où j'ai un souci, c'est que pour le membre de droite, ce n'est pas le cas en général.

En effet : Si , et puisque , on sait (Riemann) que converge vers un réel strictement positif .
Ainsi, si , on peut simplement conclure :

, ce qui ne permet pas de conclure que ...

En revanche ! Si , alors diverge vers , et donc le terme va tendre vers 0 lorsque tend vers .
Donc, si , on a bien . On peut alors chercher à trouver un équivalent plus simple de au voisinage de ..

Bonsoir, oui en effet il vient de Chatgpt je lui ai demandé de générer des exercices type pour m'entrainer visiblement à ne plus refaire .
Merci pour votre aide à tous, Tout me parait beaucoup plus clair maintenant !!

Bonne soirée et encore merci !