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comparer 3 moyennes

Posté par
Mathseo 13-11-21 à 15:35

Bonjour,
Je bloque sur mon exercice de maths :

a=\frac{x+y}{2}, g=\sqrt{xy}, \frac{1}{h}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})

1. Montrer que : ∀ x, y ∈ R∗+   h ≤ g ≤ a.
2. Montrer que ces trois moyennes sont comprises entre x et y.

J'ai modifier 1/h et j'ai trouvé h=\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}

Ensuite pour la 1 j'ai découpé l'équation en 2 partie et j'essaie de prouver que g<a sur internet j'ai également trouvé que cela s'appelait une inégalité arithmético-géométrique.

Pour la prouver j'ai trouvé qu'il fallait commencer par développer :
(\sqrt{x}-\sqrt{y})2 cependant je ne comprend pas comment on passe de ça \sqrt{xY}\leq \frac{x+y}{2}
à (\sqrt{x}-\sqrt{y})2.

Merci pour votre aide

Posté par
philgr22re : comparer 3 moyennes 13-11-21 à 15:39

Bonjour
Et bien developpe le carré

Posté par
heklare : comparer 3 moyennes 13-11-21 à 15:39

Bonjour

x=(\sqrt{x})^2  idem pour y

Élevez au carré.

Posté par
Mathseore : comparer 3 moyennes 13-11-21 à 15:43

Oui merci, j'ai développé  l'expression et je retrouve bien mon inégalité g<a mais je ne comprend pas comment \sqrt{xY} est devenue (\sqrt{x}-\sqrt{y})2

Posté par
philgr22re : comparer 3 moyennes 13-11-21 à 15:46

Ce n'est pas ce qui est fait.

Posté par
Mathseore : comparer 3 moyennes 13-11-21 à 15:54

d'accord je pensais mais alors d'où sort ce carré est-ce parce que x, y>0 ?

Posté par
philgr22re : comparer 3 moyennes 13-11-21 à 15:57

C'est toi qui a proposé...Je te coneille de reprendre ta redaction de calculs au depart.

Posté par
philgr22re : comparer 3 moyennes 13-11-21 à 15:58

conseille...

Posté par
Mathseore : comparer 3 moyennes 13-11-21 à 16:20

Je crois que je viens de comprendre c'est la forme littéral qui permet d'écrire que x et y sont des réels positif non nul

Posté par
philgr22re : comparer 3 moyennes 13-11-21 à 16:22

???????

Posté par
Mathseore : comparer 3 moyennes 13-11-21 à 16:24

j'ai réussi à finir la question 1 et à prouve l'inégalité mais pour la question 2 faudrait-t-il séparément pour chaque trois moyenne prouver qu'elles sont comprises entre x et y

Posté par
Mathseore : comparer 3 moyennes 13-11-21 à 16:25

philgr22 @ 13-11-2021 à 16:22

???????

Ce n'est donc pas ça

Posté par
philgr22re : comparer 3 moyennes 13-11-21 à 16:31

Je n'ai pas compris ta remarque de 16h20.
pour la 2),tu n'es peut etre pas obligé de travailler avec les 3 moyennes compte tenu du 1)

Posté par
Mathseore : comparer 3 moyennes 13-11-21 à 16:44

ah d'accord, je faisait l'hypothèse que (\sqrt{x}-\sqrt{y})2 était l'écriture littéral qui traduisait ∀ x, y ∈ R∗+ tout comme par exemple un nombre impair se traduit littéralement par 2k+1

merci je vais essayer de partir de la question 1


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