Bonjour.

Ce serait plutôt V, l'espace de Hilbert. Un espace de Hilbert est un espace muni d'un produit scalaire, complet (sous-entendu, pour la norme induite par ce produit scalaire). Par exemple tout espace vectoriel de dimension finie est de Hilbert.


Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris ta question. Tu l'as dit toi-même : , donc on a clairement . Cette inclusion est assez facile à voir. En effet, soit . Alors il existe une suite d'éléments de W convergeant vers x. Soient et . Puisque , on a par définition que . Par continuité du produit scalaire, lorsque , on obtient . On a donc montré :
,
ce qui est exactement dire que , d'où l'inclusion.


Effectivement, puisque , on a ssi , donc tout sous-espace vectoriel non fermé fournit un contre-exemple.

En fait, sans même dire que , il est facile de voir que si A est un sous-ensemble de V (même pas nécessairement un espace vectoriel), alors est un sous-espace vectoriel fermé de V. En particulier, doit donc être fermé, donc ne peut être égal à W si ce dernier n'est pas fermé. À partir de ce constat, il est donc clair qu'il existe un espace vectoriel fermé H, contenant W, tel que . On sait en fait que , ce qui fait l'objet d'un théorème, peut-être un tout petit peu moins évident à démontrer que ce que j'ai raconté plus haut, mais pas très difficile non plus.

Juste une précision. Tout espace vectoriel de dimension finie est fermé, d'où la relation valide en dimension finie. Mais ce n'est qu'une réécriture du fait que et .