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Niveau Maths sup
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Complémentaire d'un ensemble

Posté par Profil Ramanujan 06-06-19 à 18:31

Bonjour,

Soient E, F 2 ensembles.
On appelle différence ensembliste E moins F l'ensemble noté E \setminus F des éléments qui sont dans E mais pas dans F. On a donc :

x \in E \setminus F  	\Leftrightarrow (x \in E \ \textit{ET} \ x \notin F)

Lorsque F \subset E l'ensemble E \setminus F  s'appelle complémentaire de F dans E et il se note  \complement _E F


Je n'arrive pas à montrer que : \complement _E( \complement _E F)=F

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 18:37

Dans mon livre il est écrit que c'est une conséquence immédiate de :

NON (NON \ P) 	\Leftrightarrow P

Je ne vois pas le rapport

Posté par
Jezebeth
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 18:56

Bonsoir

Niez la proposition (x n'est pas dans F).

Posté par
carpediem
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 18:58

salut

soit P la proposition x est un élément de F

non P est alors la proposition : ... soir encore la proposition ...

donc non (non P) est la proposition ...

c'est essentiellement un exercice de français ...

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 19:03

Je n'ai pas compris le rapport entre votre indication et le complémentaire de F dans E.

Posté par
Jezebeth
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 19:06

Reprends la définition de différence ensembliste en sachant qu'ici F est inclus dans E et tu comprendras...
et fais un dessin si tu as vraiment du mal

Posté par
carpediem
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 19:13

pourtant tout est dit là : Sous ensemble défini par un prédicat

si P est le prédicat x appartient à F \iff P(x)  :  x \in F

ben on a trivialement F = \{ x \in E  /  P(x) \}

donc F^* = \{ x \in E  /  non  P(x)\}

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 19:18

@Carpediem vous m'embrouillez avec les prédicats, toujours pas compris le rapport avec le complémentaire du complémentaire et votre x \in F

@Jezebeth
C'est évident sur un dessin mais je ne vois pas comment faire la démonstration formellement. On part de quoi ?

Posté par
Jezebeth
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 19:30

x\in C_E(C_E(F))\Leftrightarrow x \notin C_E(F)\Leftrightarrow non(x\in C_E(F))\Leftrightarrow non(non(x\in F))\Leftrightarrow x\in F

(C'est quand même tragique de me pousser à me fatiguer pour écrire ça...)

Posté par
verdurin
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 19:32

Bonsoir,
formellement :
\complement _E F=\lbrace x\in E\;\vert\; x\not\in F\rbrace
 \\ 
 \\ \complement _E( \complement _E F)=\lbrace x\in E\;\vert\; x\not\in\complement _E F\rbrace
 \\ \phantom{\complement _E( \complement _E F)}=\lbrace x\in E\;\vert\; \neg \bigl(x\not\in\complement _E F\bigr)\rbrace
 \\ \phantom{\complement _E( \complement _E F)}=\lbrace x\in E\;\vert\; \neg \bigl(\neg x\in F\bigr)\rbrace

Si on admet ( logique classique ) que \neg(\neg P)=P alors \neg \bigl(\neg x\in F\bigr)=x\in F.

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 19:46

Je n'ai pas compris comment vous trouvez l'équivalence suivante :

x\in C_E(C_E(F))\Leftrightarrow x \notin C_E(F)

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 19:48

@Verdurin

Pas compris le passage de la ligne 3 de calcul à la ligne 4.

Posté par
Jezebeth
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 19:49

Ramanujan @ 06-06-2019 à 19:46

Je n'ai pas compris comment vous trouvez l'équivalence suivante :

x\in C_E(C_E(F))\Leftrightarrow x \notin C_E(F)


c'est la définition d'être dans le complémentaire d'un ensemble G, avec G = C_E(F)...

Posté par
verdurin
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 19:55

x\not\in F est une écriture abrégée de \neg (x\in F)

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 20:01

Je ne comprends pas vos raisonnements. La définition qui m'est donnée est la suivante :

x \in \complement _E F 	\Leftrightarrow (x \in E \ \textit{ET} \ x \notin F)

Je ne vois pas où vous l'utilisez

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 20:03

Jezebeth @ 06-06-2019 à 19:49

Ramanujan @ 06-06-2019 à 19:46

Je n'ai pas compris comment vous trouvez l'équivalence suivante :

x\in C_E(C_E(F))\Leftrightarrow x \notin C_E(F)


c'est la définition d'être dans le complémentaire d'un ensemble G, avec G = C_E(F)...


Je n'ai pas cette définition dans mon cours.

Posté par
Jezebeth
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 20:09

C'est pourtant celle que tu as écrite mot pour mot...
en maths il faut réfléchir un minimum sinon on finit par faire de la chimie !
ici F est inclus dans E, je répète... F est inclus dans E...

(et dans le message de verdurin tu es choqué du passage de la 3e à la 4e ligne mais pas par le passage de la 1ère à la deuxième ? parce que c'est grossièrement faux !... - certainement une faute de frappe)

Posté par
Jezebeth
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 20:23

Allez, on va donc écrire, ensemble, posément. Avec ta définition, rigoureusement :

x\in C_E(C_E(F))\Leftrightarrow ((x\in E)et(x\notin C_E(F)))

\Leftrightarrow ((x\in E)et([non(x\in E)]ou[non(x\notin F)]))

\Leftrightarrow ((x\in E)et(non(x\notin F)))

\Leftrightarrow ((x\in E)et(x\in F))

\Leftrightarrow x\in F

par pitié, pour la prochaine fois, essaie de bien comprendre qu'un dessin fait ce travail... avec même plus d'efficacité, parce que nous les humains ne sommes pas faits pour manipuler les parenthèses en aussi grand nombre (et se fatiguer à écrire des trivialités du genre "si je ne suis pas en dehors de Paris, alors je suis dans Paris, et réciproquement".....).

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 20:24

Je ne vois pas trop où on utilise le fait que :  F \subset E

On a :  x \in \complement _E F 	\Leftrightarrow (x \in E \ \textit{ET} \ x \notin F)

Donc  x \in \complement _E ( \complement _E F) 	\Leftrightarrow (x \in E \ \textit{ET} \ x \notin  \complement _E F)

Or x \notin \complement _E F 	\Leftrightarrow (x \notin E \ \textit{OU} \ x \in F)

Et là je bloque.

Enfin :

Posté par
verdurin
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 20:24

@Jezebeth en effet.
Je le remet en un peu moins faux.

Citation :
\complement _E( \complement _E F)=\lbrace x\in E\;\vert\; x\not\in\complement _E F\rbrace
 \\ \phantom{\complement _E( \complement _E F)}=\lbrace x\in E\;\vert\; \neg \bigl(x\in\complement _E F\bigr)\rbrace
 \\ \phantom{\complement _E( \complement _E F)}=\lbrace x\in E\;\vert\; \neg \bigl(\neg x\in F\bigr)\rbrace

Posté par
Jezebeth
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 20:28

Concrètement c'est ça, imagine que ton F c'est Paris et E la France ; c'est quoi ce qui est en dehors de ce qui est en dehors de Paris ? bah c'est Paris !

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 20:30

Ah merci y a juste un détail qui me bloque pourquoi :

x \notin E \ \textit{OU} \ x \in F est équivalent à  x \in F ?

Posté par
Jezebeth
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 20:33

Ramanujan @ 06-06-2019 à 20:30

Ah merci y a juste un détail qui me bloque pourquoi :

x \notin E \ \textit{OU} \ x \in F est équivalent à  x \in F ?


je n'ai JAMAIS écrit cela.
j'ai dit en revanche que ((x\in E)et((x\notin E)ou(x\in F))) \Leftrightarrow ((x\in E)et(x\in F)).
(peut-on avoir x\in E et x\notin E ?... bon encore une fois tu me diras, les axiomes de la logique classique interviennent, mais on a bien besoin de deux ou trois axiomes pour rouler quand même !)

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 20:41

Ah d'accord merci j'ai enfin compris !

Il faut utiliser que A \cap (B \cup C ) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

Et \emptyset \cup A = A

Car (x \in E) \cap (x \notin E)  = \emptyset

Posté par
Jezebeth
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 20:42

tu mélanges ensembles et propositions c'est n'importe quoi...

Posté par
carpediem
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 20:53

Ramanujan @ 06-06-2019 à 20:24

Je ne vois pas trop où on utilise le fait que :  F \subset E
mais bon sang !!! E c'est l'univers !!!

pour parler du complémentaire d'un ensemble F il faut bien dire/savoir où !!!

le complémentaire de F dans quoi ?

le complémentaire de N dans Z c'est quoi ?
le complémentaire de N dans R c'est quoi ?

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 21:03

Alors quelles règles de logique utilisez vous pour montrer que

((x\in E)et((x\notin E)ou(x\in F))) \Leftrightarrow ((x\in E)et(x\in F)) ?

Car dans mon livre, elles n'y sont pas.

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 21:04

carpediem @ 06-06-2019 à 20:53

Ramanujan @ 06-06-2019 à 20:24

Je ne vois pas trop où on utilise le fait que :  F \subset E
mais bon sang !!! E c'est l'univers !!!

pour parler du complémentaire d'un ensemble F il faut bien dire/savoir où !!!

le complémentaire de F dans quoi ?

le complémentaire de N dans Z c'est quoi ?
le complémentaire de N dans R c'est quoi ?


Le complémentaire de \N dans \Z c'est \Z^-

Le complémentaire de \N dans \Z ce sont les nombres réels qui ne sont pas entiers naturels.

Posté par
carpediem
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 21:06

la question est purement rhétorique !!!

l'objectif est d'en tirer la substantifique moelle !!!

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 21:29

Je ne comprends pas pourquoi :

x\in C_E(C_E(F))\Leftrightarrow x \notin C_E(F)

J'aurais plutôt dit :

x\in C_E(C_E(F))\Leftrightarrow (x \in E \ ET \ x \notin C_E(F) )

Pourquoi on peut enlever le x \in E ?

Posté par
verdurin
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 21:37

Parce que, par hypothèse, x est dans E.

"Ramanujan"

Lorsque F \subset E l'ensemble E \setminus F  s'appelle complémentaire de F dans E et il se note  \complement _E F

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 21:45

Ah d'accord merci, du coup je comprends aussi votre démonstration Verdurin.

Et pas besoin d'utiliser les axiomes de logique en utilisant directement cette équivalence.

Dès qu'on a un \complement_E cela sous entend que x \in E

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 22:53

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi :

Si A \subset E et B \subset E alors :

 (A \cup B ) \cap C_E (B \cap A) = (A \cup B ) \setminus (A \cap B)

Posté par
verdurin
re : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 22:59

C'est la définition de  (A \cup B ) \setminus (A \cap B)

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 06-06-19 à 23:22

Ah d'accord merci, en effet A \cap B \subset E donc on a l'équivalence :
 x \notin (A \cap B) \Leftrightarrow x \in C_E ( (A \cap B) )  

J'aimerais démontrer que :

1/ A \cap \emptyset = \emptyset
2/ A \cup \emptyset = A
3/ A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C
4/  A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C

Pour la 1 :

Soit x \in \emptyset alors comme \emptyset \in A on a (x \in \emptyset \ ET \ x \in A) donc \emptyset \subset A
Soit x \in A \cap \emptyset alors (x \in A \ ET \ x \in \emptyset) donc x \in \emptyset enfin A \cap \emptyset \in \emptyset

Pour la 2 trivial.

Pour les 3 et 4 , je ne vois pas exactement comment faire.

Posté par
lafol Moderateur
re : Complémentaire d'un ensemble 08-06-19 à 00:24

Bonjour
le vide est une partie de E, pas un élément de E
ce que tu écris pour la 1) n'a ni queue ni tête.
et je ne vois pas en quoi le 2) est plus "trivial" que le 1)

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 08-06-19 à 03:09

Donc je n'ai pas compris comment démontrer que :

A \cap \emptyset = \emptyset et A \cup \emptyset = A

Les 3 et 4 c'est juste lié à l'associativité du ou et du et.

Posté par
lafol Moderateur
re : Complémentaire d'un ensemble 08-06-19 à 08:40

x\in A\cap \emptyset\Leftrightarrow x\in A\;{\rm et } \;x\in\emptyset
"x appartient au vide " est une proposition fausse. Conclusion ? Idem avec l'union en remplaçant et par ou.

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 08-06-19 à 12:06

Comment on fait un ET avec une proposition fausse. Je n'ai jamais vu ça.

Posté par
lafol Moderateur
re : Complémentaire d'un ensemble 08-06-19 à 15:10

Programme de seconde des années 70-80....
V et F : F
F et V : F
F et F : F

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 08-06-19 à 15:58

Ca veut dire que : x \in A \ ET \ x \in \emptyset est une assertion fausse.

Mais en quoi ça me donne A \cap \emptyset ?

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 08-06-19 à 16:08

Ce que j'ai fait.

1/ x \in  A \cup \emptyset \Leftrightarrow (x \in A) \ \text{OU} \  (x \in \emptyset}) \Leftrightarrow x \in A
Par double inclusion.
En effet, si x \in  A \cup \emptyset alors x \in A ou x \in \emptyset. Mais x \in \emptyset est une assertion fausse. Donc x \in A.

La réciproque est évident.

2/ x \in  A \cap \emptyset \Leftrightarrow (x \in A) \ \text{ET} \  (x \in \emptyset}) \Leftrightarrow x \in \emptyset

Par double inclusion.
En effet, si x \in  A \cap \emptyset alors x \in A et x \in \emptyset. Donc x \in \emptyset

Réciproquement, si x \in \emptyset. Comme \emptyset \subset A alors x \in A donc x \in A \cap \emptyset

Posté par
lafol Moderateur
re : Complémentaire d'un ensemble 08-06-19 à 18:44

Il n'y a pas de double inclusion là dedans, juste des équivalences logiques ....

Posté par
lafol Moderateur
re : Complémentaire d'un ensemble 08-06-19 à 18:56

\left(x\in A\; {\rm ou }\; x\in \emptyset \right) \Leftrightarrow (x\in A), car "x\in \emptyset" est toujours fausse. Fais une table de vérité pour te convaincre de l'équivalence des deux propositions.
de même (x\in A\; {\rm et }\; x\in \emptyset )\Leftrightarrow (x\in \emptyset), car ces deux propositions sont toutes les deux toujours fausses (je te rappelle que (p\Leftrightarrow q) ne signifie ni plus ni moins que "p et q sont vraies ou fausses en même temps")

Posté par
lafol Moderateur
re : Complémentaire d'un ensemble 08-06-19 à 18:59

Sinon tu as peut-être déjà vu et pas encore oublié que si A\subset B, alors A\cup B = B et A\cap B = A ? si oui, il suffit de savoir que \emptyset \subset toutes les parties de E ...

Posté par Profil Ramanujanre : Complémentaire d'un ensemble 11-06-19 à 00:26

D'accord merci j'ai compris.



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