Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O, u, v).

1. Résoudre dans C l'équation z²+z+1=0.On note j la solution qui a une partie imaginaire positive.

2. Déterminer la forme trigonométrique des deux solutions puis démontrer que chacune d'elles est le carré de l'autre.

3. Placer les points A, B et C dont les affixes sont j, j² et j^3.
a/ Déterminer l'isobarycentre de ABC.
b/ Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.

4. Soit M, N, P, trois points distincts d'affixes respectives m,n,p. Démontrer que MNP sont les sommets d'un triangle équilatéral direct, si et seulement si (m-n)/(p-n)=-j².

5. En déduire que le triangle MNP est équilatéral direct si et seulement si m+j.n+j².p=0