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complexe à la puissance 0

Posté par
sgu35 18-05-21 à 09:47

Bonjour,
j'ai un doute sur le fait que pour tout complexe z, z^0=1. Comment le montrer?

malou edit > ** changement de niveau**

Posté par
Aalex00re : complexe à la puissance 0 18-05-21 à 10:24

Bonjour sgu35,

D'après le niveau que tu indiques, je doute que tu ais vu le logarithme complexe (qui permet d'écrire z^\alpha=exp(\alpha log(z)) pour une détermination bien choisie du log..). Sinon tu peux tout simplement le voir comme une convention, qui coïncide bien avec la "valeur attendue".

Posté par
LeHiboure : complexe à la puissance 0 18-05-21 à 10:54

Bonjour,

La preuve élémentaire, donnée dès la Terminale, qui vaut au moins pour tout z 0 :
Pour tout n *, on a :
z0 = zn-n = zn/zn = 1

Posté par
Aalex00re : complexe à la puissance 0 18-05-21 à 11:51

Bonjour LeHibou,

Pour moi ce passage est une convention (?) :

LeHibou

zn-n = zn/zn
La preuve donnée en terminale de z^m/z^n est d'écrire ce quotient comme

\Large \frac{z\times \cdots\times z}{z\times \cdots\times z}

avec m fois z au numérateur et n fois au dénominateur. Puis on remarque qu'on peut simplifier et obtenir :
• z^{m-n} pour m\neq n
• 1 pour m=n, qu'on note z^0 par convention car cela coïncide avec la formule.

Posté par
Camélia Correcteurre : complexe à la puissance 0 18-05-21 à 14:43

Bonjour

On peut aussi dire que pour tout z\neq 0 on a z^0\times z=z^{0+1} =z, d'où z^0=1, valable dans tout corps.

Posté par
Aalex00re : complexe à la puissance 0 18-05-21 à 16:57

Bonjour Camélia,

Encore une fois il me semble (?) que c'est par convention que tu écris

Camélia

z^0\times z=z^{0+1}


Pour démontrer que z^n\times z^m=z^{n+m}, pour n,m\geq 0, on ecrit :
• \large z^{n+m}= \underset{n+m}{\underbrace{z\times \cdots\times z}}= \\ \underset{n}{\underbrace{z\times \cdots\times z}}\times\underset{m}{\underbrace{z\times \cdots\times z}} =z^nz^m pour n,m\neq 0.
• Et si n ou m est nul disons n, on écrit \large z^{0+m}= \underset{0+m}{\underbrace{z\times \cdots\times z}}= \\ 1\times\underset{m}{\underbrace{z\times \cdots\times z}} =1\times z^m. Par convention on pose z^0=1.

Donc comme LeHibou, j'ai l'impression que tu justifie une convention plus que tu prouves quelque chose ?

Posté par
sgu35re : complexe à la puissance 0 25-05-21 à 09:32

Merci à tous!


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