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Niveau Maths sup
Complexe-Détermination d'un argument
Posté par QuentinDelon1
Bonjour !
Voici l'énoncé :
Soit a
*+. Soit 
l'argument de a+i pris dans ]-
;[. Démontrer que =arctan(1/a).
Que dire si a*- ?
A l'aide de ce qui précède, calculer arctan(1/2)+arctan(1/3)?
Ce sur quoi je bloque est évidemment le début, déterminer l'argument de a+i par méthode classique (soit calculer le module puis le cos et le sin puis en déduire l'argument) ne fonctionne pas à priori !
Quelles sont les pistes que vous pourriez me donner pour avancer ?
Bonne Journée, merci d'avance !
Oh intéressant haha !!
|a+i| = 
a²+1
Ainsi cos(
)=(a*a²+1)/(a²+1)
et sin()=(a²+1)/(a²+1)
Et maintenant que faire ?
Oui en effet !
ok j'ai réussi à retrouver l'argument, cependant il faut réduire l'intervalle de à ]/2;/2[ non ?
Maintenant si a*-, je ne trouve où se pose le problème ?
QuentinDelon1 @ 26-10-2021 à 10:54
ok j'ai réussi à retrouver l'argument non un ... et encore !!!, cependant il faut réduire l'intervalle de à ]/2;/2[ non ?
Maintenant si a*-, je ne trouve où se pose le problème ?
ben justement : très certainement un pb d'argument principal !!
ok j'ai réussi à retrouver l'argument non un ... et encore !!!, cependant il faut réduire l'intervalle de
à ]/2;/2[ non ?
Maintenant si a
*-, je ne trouve où se pose le problème ?tu trouve donc que tan t = 1/a à toi de justifier proprement le résultat final ... avec les hypothèses et définition de l'énoncé ...
Peut- on alors dire que se trouvant dans l'intervalle ]-,[, de plus on a restreint à l'intervalle ]-(/2);/2[.. est unique car par définition sur cet intervalle il n'en existe qu'un unique qu'on appelle argument principal ? Si je ne dis pas de bêtises..
Ainsi si a*-, il existe un argument qui est le principal, donc le même ou bien il en existe aucun ?
si 0 < a alors l'image du complexe z = a + i se trouve ...??... du plan
son argument principal appartient dont bien à ]0, pi/2[ ...
si a < 0 alors ...
Donc si a>0, l'image de z se trouve dans le cadran 1 du plan ?
]0;/2[
Si a < 0, dans le cadran 2 du plan (sens trigo)
]/2;[
Or on a vu que ]-/2;/2[, donc il existe un unique argument si a*+.
C'est très flou mais c'est ce que je comprends !
et même dans une très petite portion de chaque cadran puisque y = 1
je ne vois pas ce que viennent faire ces pi/2 ...
en fait pour tout réel a non nul il existe un argument dans ]-pi, pi[ ...
On a : tan=1/a
Pour passer au arctan : =arctan(1/a)
Il faut restreindre l'intervalle de à ]-/2;/2[ car sinon arctan(tan()) n'est pas forcément égal à d'où leurs présences
Conclusion, il existe un unique argument quand a>0, c'est tout ?
si z = x + i alors l'image M de z parcourt la droite d'équation y = 1 lorsque x parcourt R
z possède donc un unique argument t dans l'intervalle ]-pi, pi[
si alors
il existe une unique valeur de t dans l'intervalle ]-pi, pi[ solution de ce système ...
Donc il existe un unique argument quand a>0, et quand a<0 aussi mais qu'en est-il de celui là, c'est le même ? Quel est l'histoire de modulo ?
Alors il existe un unique argument quand a>0 (cadran 1)
et un unique argument quand a<0 (cadran 2).
Mais il n'existe pas un unique argument sur l'intervalle ]-;[ ?
Désolé mais c'est pas du tout clair là..
on te demande dans a > 0 puis ensuite dans a < 0 de montrer que w = arctan (1/a) avec w € ]-pi, pi[ argument de z = a + i
donc on regarde ce qui se passe avec les formules
carpediem @ 28-10-2021 à 10:09
si z = x + i alors l'image M de z parcourt la droite d'équation y = 1 lorsque x parcourt R
z possède donc un unique argument t dans l'intervalle ]-pi, pi[
si
alors 
il existe une unique valeur de t dans l'intervalle ]-pi, pi[ solution de ce système ...
et on corrige éventuellement à partir de tan w = ... pour voir ce qui se passe quand on veut inverser la fonction tan ...si z = x + i alors l'image M de z parcourt la droite d'équation y = 1 lorsque x parcourt R
z possède donc un unique argument t dans l'intervalle ]-pi, pi[
si
il existe une unique valeur de t dans l'intervalle ]-pi, pi[ solution de ce système ...
Conclusion, on a trouvé un argument de z quand a ou x>0 avec arctan or pour tout a, il existe une unique argument dans l'intervalle ]-pi;pi[ solution du système.
Donc quand a<0, l'argument est le même que quand a>0 ?
z = a + i possède toujours un argument dans ]-pi, pi[ mais la question qui se pose est :
peut-il toujours s'écrire arctan (1/a) ?
c'est vrai si a > 0 mais est-ce vrai si a < 0 ?
et pour le savoir il faut connaitre la fonction arctan !! ( connaitre signifie : comment passe-t-on de tan w = x à w = ...)
donc réviser la fonction arctan !!!
Ahhhh je n'avais pas compris le problème alors !!
tan w = x
arctan(tan(w))=arctan(x)
w=arctan(x) ssi w]-pi/2;pi/2[
déjà !
mais si x arctan(x), arctan ne change pas elle est défnie sur
Donc quel est l'importance du signe de a ici ?Je vois juste que arctan(1/a) est négative quand a<0. donc arctan(1/(-a)) = -arctan(1/a) car arctan est impaire
Donc si a>0 w=arctan(1/a)
Si a <0 w =-arctan(1/a) ?
je dirai qu'il manque un pi ... ou un truc comme ça puisqu'on arrive dans ]-pi/2, pi/2[ et qu'on veut arriver dans ]-pi, pi[ ...
à toi de faire un dessin propre pour réfléchir ...