Bonjour.
1) a) Tu dois prendre les coordonnées de trois des points et déterminer l'équation du cercle passant par ces trois points (cercle circonscrit à un triangle) et vérifier que la coordonnée du 4e vérifie cette équation.
1) b) Calcule soit le , soit le ' en utilisant la relation fondamentale de trigono.  Tu obtiens z= 1+2cost+2isint ou z=1+2cost-2isint.  Ils déterminent deux points (1+2cost,2sint) et (1+2cost,-2sint).  Vérifier qu'ils sont sur le cercle (les coord. vérifient l'équation).
Pour l'exercice 2,
1) a) z=2i
1) b) z=3+i
2) a) z_c=1-2i
Pour le reste, je n'ai pas assez de temps car je dois m'absenter.
Pour travail.

salut.
1)on va supposer que les 4 points se trouvent sur le cercle de centre I(zi) et de rayon r.
zi=x+iy
AI^2=(xI-1)^2+(yI-2)^2
DI^2=(xI-1)^2+(yI+2)^2

comme AI=DI AI^2=DI^2 donc (yI-2)^2=(yI+2)^2
donc yI=0

donc AI^2=(xI-1)^2+4

BI^2=(xI-1-rac(3))^2+1

AI=BI donc AI^2=BI^2

donc (xI-1)^2+4=(xI-1-rac(3))^2+1
donc xI*(2*rac(3))=-4+(1+rac(3))^2=2*rac(3)

donc xI=1

donc si les quatres points A B C et D se trouvent sur un cercle, ce cercle est de centre I et de rayon 2

maintenant il faut le verifier.
pour cela, on calcule AI,BI,CI, DI.
si ces 4 distances sont egales a 2 alors les 4 points A B C D se trouvent bien sur un cercle, cercle de centre I(1,0) et de rayon 2 et qu'on appelle T.

2) c'est une equation a resoudre dans C mais ses coefficients sont reels. a premiere ce ne devrait pas etre complique de la resoudre.

discriminant : 4*(1+2*cos(t))^2-4*(4*cos(t)+5)=16cos^2(t)-16=16*(cos^2(t)-1)=-16*sin^2(t)=<0.


1 er cas : si t=k*Pi, k dans Z.
le discriminant est nul.
1 er cas a : si t=2*k*Pi
l'equation devient z^2-6z+9=0 donc z=3
1 er cas b : si t=(2*k+1)*Pi
l'equation devient z^2+2z+1=0 donc z=1

2eme cas le discriminant est strictement negatif.


alors z=1+2cos(t)+2*i*sin(t) ou z=1+2cos(t)-2*i*sin(t).

pour la suite de la question il y a juste a verifier.
je te laisse faire.

1a)bizzarre que tu ne saches pas faire ca.
Z=2*exp(i*Pi/2)=2*i

iz-2=4i-z
z=x+iy
donc ix-y-2=4i-x-iy
donc x-y-2+i*(x-4+y)=0
donc x-y-2=0 et x-4+y=0
systeme de deux equations a deux inconnues...

2)
a)I(1,0)
I est le milieu de [AC]
donc zI=(za+zc)/2
donc zc=...

b) avec le resultat du a) tu remplaces puis tu multiplie par le conjugue de za-zb numerateur et denominateur, puis developpement du numerateur, regroupement...

module et argument => une fois obtenue l'ecriture algebrique pas trop de probleme.

interpretation geometrique :
Z=(zc-zb)/(za-zb)
|Z|=BC/BA


a partir de la, AB designe vecteur AB et non distance AB.
*****************************************************
et arg Z =(BA,BC)
c) avec les resultats du b) il devrait pas y avoir trop de probleme.
sinon on demontre que ABCD est un parallelogramme
(puis un losange puis un carre) ou (puis un rectangle puis un carre).

3) I milieu de [AC] donc MA+MC=2MI.
I milieu de [BD] (car comme ABCD carre donc parallelogramme donc les milieux des diagonales sont confondus) donc MB+MD=2MI

rappel de seconde si I milieu de [AC] alors pour tout M du plan , MA+MC=2MI. (on peut le voir aussi avec les barycentres)

donc MA+MB+MC+MD=4MI
b) la question 3a n'est pas placée avant celle ci pour rien. d'apres 3a) KA+KB+KC+KD=4*KI.
or KA+KB+KC+KD=2AB
donc 4*KI=2AB donc 2*KI=AB
or AB=AD+DB (relation de chasles)
et KI=KD+DI.
I milieu de [BD] donc 2*DI=DB
donc 2*KD=AD donc K milieu de [AD]
c)d'apres a) MA+MB+MC+MD=4*MI
2AB=KA+KB+KC+KD=4*KI (d'apres (enonce de b) et d'apres a)

donc |KI|=|MI|
donc on cherche tous les points M a egale distance de I, distance egale a |KI|.
cet ensemble T est donc le cercle de centre I, I milieu de [AC] et de rayon |IK|.
COMME K est le milieu de [AD] et I milieu de [AC]
KI=(1/2)*AD
comme |AD|=|AB| car ABCD carre on a |KI|=|AB|/2

je ne serais pas etonne que |KI|=2 pas toi ?

1)
Si A et D sont sur le cercle, alors le centre du cercle est sur la médiatrice de [AD]
La médiatrice de [AD] a pour équation: y = 0

Le centre du cercle est C(X ; 0), il reste à déterminer X.

|AC|² = (1-X)² + 2²
|BC|² = (1+V3-X)² + 1²

On doit avoir |AC| = |BC|

->  (1-X)² + 2² = (1+V3-X)² + 1²  (avec V pour racine carrée).
1 - 2X + X² + 4 = 1 + 3 + X² +2V3 - 2X - 2V3 X + 1
0 = 2V3- 2V3 X
X = 1

R² = |AC²| = 0 + 4 = 4

-> Equation du cercle: (x - 1)² + y² = 4

Il reste à vérifier que C est sur le cercle:
(1+V3 - 1)² +  (-1)² =? 4
3 + 1 =? 4
Et donc C est aussi sur le cercle.

On a donc le cercle T: (x - 1)² + y² = 4
C'est le cercle de centre de coordonnées (1 ; 0) et de rayon 2
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2)
z²-2(1+2cost)z+5+4cost=0

z = (1+2cost) +/- V[(1+2cost)²-(5+4cost)]
z = (1+2cost) +/- V(1+4.cost+4cos²t-5-4cost)
z = (1+2cost) +/- V(4cos²t-4)
z = (1+2cost) +/- 2i.V(1-cos²t)
z = (1+2cost) +/- 2i.sint
-> X = (1+2cost) et Y = +/-2.sint
En mettant ces valeurs dans l'équation de T: ->
(1 + 2cost - 1)² + (+/-2.sint)² =? 4
4cos²t + 4sin²t =?4
4(cos²t + sin²t) =? 4
4 =? 4
Et donc les images solutions de l'équation z²-2(1+2cost)z+5+4cost=0 appartiennent au cercle T.
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exercice 2.
1a)

z = 2.(cos(Pi/2) + i.sin(Pi/2))
z = 2.[0 + i.1]
z = 2i
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b)
iz-2=4i-z
z+iz = 2+4i
z(1+i) = 2+4i
z = (2+4i)/(1+i)
z = (2+4i)(1-i)/[(1+i)(1-i)]
z = (2+4i-2i+4)/2
z = 3+i
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2) Erreur d'énoncé.

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Sauf distraction.  

merci bien pour ces reponses

mais ou voit tu une erreure d'énoncé ?

je voudrai juste savoir ou ets l'erreur que je fasse pas quelque chose de faux

SVP vraiment besoin d'une réponse pour pouvoir terminer mon devoir

merci d'avance

Erreur d'énoncé:

Tu dis:

on designe par , A et B les points d'affixe respective 1,2i et3+i

Il y a 2 points nommés, soit A et B alors qu'il y a 3 affixes données 1 ; 2i et 3+i.

Il y a donc quelque chose qui manque, soit au moins le nom du 3ème point, on devine que c'est I, mais on ne fait que le deviner.
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Bon, en supposant qu'on a bien I d'affixe ,1 A d'affixe 2i et B d'affixe 3+i.

2)a)

vect(AI) = (1 ; -2i)
Soit C(X ; Y)
vect(IC) = (X-1 ; Y)

On doit avoir: vect(AI) = vect(IC)
->
X-1 = 1 -> X = 2
Y = -2i
Et donc C a pour affixe 2 - 2i
zc = 2 - 2i
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b)
(zc-zb)/(za-zb) = (2-2i-3-i)/(2i-3-i) = (-1-3i)/(-3+i)
= (-1-3i)(-3-i)/[(-3+i)(-3-i)]
= (3+i+9i-3)/(9+1)
= 10i/10 = i

(zc-zb)/(za-zb) = i
|(zc-zb)/(za-zb)| = 1
arg((zc-zb)/(za-zb)) = Pi/2

Signifie que |BC| = |AB| et que angle(ABC) = 90°
Donc le triangle ABC est isocèle rectangle en B.
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c)
zd-zc=za-zb
|zd-zc|=|za-zb| -> |DC| = |AB|
et (DC) // (AB)

Le quadrilatère ABCD a ses cotés égaux et ses cotés opposés sont // -> c'est un carré.
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3)
Voir réponse de minotaure.
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Sauf distraction.  

hum !!!
un quadrilatere ABCD ayant ses diagonales secantes en leur milieux est un parallelogramme.
ici I milieu de [AC] il reste a calculer l'affixe du milieu J de [BD] a partir de celles de B et D pour voir que zJ=zI et donc J=I.
un parallelogramme ABCD ayant tous ses cotes egaux (en particulier 2 cotes consecutifs) est un losange.
ici AB=BC ok.
pour etre un carre, il manque une hypothese a tout ca :

c'est l'etude de arg Z =(BA,BC) qui permet de conclure.

en esperant ne pas m'etre trompé...

Dans un plan,

avec |AB| = |BC| et angle(ABC) = 90° (point b)
et vect(AB) = vect(DC)  (point c)

C'est suffisant me semble-t-il pour que ABCD soit un carré.

la ok par contre dans ton post precedent, il pouvait y avoir confusion car tu dis "Le quadrilatère ABCD a ses cotés égaux et ses cotés opposés sont // -> c'est un carré."
non pour moi c'est un losange. mais avec l'etude de l'angle (ABC) on peut conclure que c'est un carre.

a+