salut

1)a) c'est la definition algebrique de j :

j=e^(i*2*Pi/3)=cos(2Pi/3)+i*sin(2Pi/3)=-1/2+i*V3/2

b)j^3=[e^(i*2*Pi/3)]^3=e^(i*2*3*Pi/3)=e^(2iPi)=1

c)1+j+j^2 est la somme des 3 premiers termes de la suite geometrique u definie de la facon suivante :
u(0)=1
u(n+1)=j*u(n), n>=0

cette suite geometrique est de raison j (donc differente de 1)
ce qui fait qu'on a 1+j+j^2=[j^3-1]/[j-1]
or d'apres b) j^3=1 donc j^3-1=0
donc 1+j+j^2=0

d) -j^2=-[e^(2*i*Pi/3]^2=-e^(4*i*Pi/3)
or -1=e^[i*Pi]

donc -j^2=[e^(i*Pi)]*[e^(4*i*Pi/3)]=e^[i*Pi*(1+4/3)]=e^[i*Pi*7/3]
or Pi*7/3=Pi/3 [2Pi]
donc -j^2=e^(i*Pi/3)

Hélas je ne serais trop t'aider pour t'es exos à part le 1.a) que je sais faire.

Sinon est-ce que , il faut sans doute montrer que

2a)Montrer que si le triangle MNP est équilatéral direct => M est l'image de M par la rotation d'angle Pi/3 et de centre N.

traduction par les complexes :

cours => soit r une rotation d'angle Pi/3 et de centre N d'affixe n.
soit M' d'affixe z' l'image de M d'affixe z.
alors z'-n=e^[i*Pi/3]*(z-n)

dans notre cas :
m-n=e^[i*Pi/3]*(p-n)

d'apres  1d) on a m-n=-j^2 * (p-n)

b) d'apres 2a) si MNP est equilateral direct alors
m-n=-j^2 * (p-n)
ce qui fait m-n*(1+j^2)+j^2 * p=0

d'apres 1c) 1+j+j^2=0 donc 1+j^2=-j
donc m+j*n+j^2 * p=0

et inversement si  m+j*n+j^2 * p=0
alors on a  m-n*(1+j^2)+j^2 * p=0
et m-n=-j^2 * (p-n).
et m-n=[e^i*(Pi/3)]*(p-n)
donc M est l'image de P par la rotation d'angle Pi/3 et de centre N.
donc MNP est equilateral direct.

remarque : je pense que la question est en fait :
Etablir la propriété suivante : le triangle MNP est équilatéral DIRECT si et seulement si, m + nj + pj2 = 0
a verifier...

application :

deuxieme partie :

on a notre cercle.
soit O l'origine du notre repere.
on pose vecteur(OA)=vecteur(u).
et vecteur(v)  tel que ||u||=||v|| et (u,v)=Pi/2

donc A a pour affixe 1.
soit r la rotation de centre 0 et d'angle Pi/3
B est l'image de A par r
C est l'image de B par r...

donc B a pour affixe e^(i*Pi/3)=-j^2
C : e^(i*2Pi/3)=j
D : e^(i*Pi)=-1
E : e^(4*i*Pi/3)=e^(-2*i*Pi/3)=j^2

F : e^(5*i*Pi/3)=e^(-i*Pi/3)=-j car e^(i*Pi/3)=-j^2
donc -1/j^2=e^(-PI*i/3) donc -j/j^3=e^(-i*Pi/3)=-j car j^3=1.

M milieu de [BC] donc m=(-j^2+j)/2
N milieu de [DE] donc n=(-1+j^2)/2
P milieu de [FA] donc p=[-j+1]/2

on calcule 2*[m+j*n+j^2 * p]

2*[m+j*n+j^2 * p]=(-j^2+j)+(-1+j^2)+(-j+1)=0

donc m+j*n+j^2 * p=0

d'apres 2b premiere partie, le triangle MNP est equilateral direct.
a+

pour soucou, j^3 est different de 3*j

regardons ceci par les modules :

|j^3|=|j|^3=1^3=1

or |3*j|=3*|j|=3*1=3

si deux nombres complexes ont leurs modules differents alors ils sont differents.
a+

Oui on ne peut pas dire que comme il a écrit l'énoncé, qu'il est parfaitement claire

comme à la place de e 2iπ/3 il aurait pu écrire exp(2i/3) ?

comme il a écrit j3=1, rien ne présumé que c'est ? Sur le coup je ne savais pas si c'était une écriture spéciale pour les complexes ou si c'était vraiment une multiplication.

oui c'est vrai que l'ecriture laisse a desirer mais montrer que 3*j=1 etant impossible cela ne pouvait etre que j^3=1.

minotaure tu es vraiment le meilleur merci bcp... tu me sauves la vie...
A+

Excuse moi Minotaure, mais dans la deuxième partie, tu dit que B est l'image de A par r, je suis d'accord, mais quand tu dis C est l'image de B par r... la je ss perplexe! regarde bien le schéma, ABBC!
C'est pour ça que je bloque.
Sinon ta démarche est super. Merci quand même.
Tu pourrais m'aider alors? sachant queles trois triangles ne sont pa placés a la même distances les uns des autres (dailleurs, il y'aurait eu 6 triangles équilatéral sinon).
Merci de bien vouloir m'aider
a+

oui c'est vrai. j'ai lu trop vite la fin de l'enonce.
on prend a affixe de A,b affixe de B...jusqu'a f affixe de f.

OAB equilateral direct donc d'apres premiere partie :

a*j+b*j^2=0
comme j different de 0
multiplions par j
a*j^2 + b*j^3=0 et comme j^3=1
on a a*j^2+b=0 (1)



OCD equilateral direct donc d'apres la premiere partie :
c*j+d*j^2=0
j different de 0. divisons par j
donc c+d*j=0 (2)
de meme
OEF equilateral direct donc
e*j+f*j^2=0 donc e+f*j=0 (3)

M milieu de [BC] donc (b+c)/2=m
N milieu de [DE] donc (d+e)/2=n
P milieu de [AF] donc (a+f)/2=p

on calcule Z=2*[m + nj + pj^2] =(b+c)+(d+e)*j+(a+f)*j^2
Z=b + (c+d*j) + j*(e+f*j) + a*j^2

Z=(a*j^2+b)+(c+d*j) + j*(e+f*j)

d'apres (1) (2) et (3) on a Z=0
or Z=2*[m + nj + pj^2]
donc m + nj + pj^2=0

donc d'apres la premiere partie MNP equilateral direct.

en esperant ne pas m'etre trompe...
a+

EXO :



On note j le nombre complexe e(2i /3)
1)montrer les propriétés suivantes de j

(a) j=(-1/2) +i(3   /2)
(b) j^3=1
(c) 1+j+j=0
(d) -j=e(i /3)

2) dans un repère direct du plan on considère les points M, N, P d'affixes respectives m, n, p.
a) montrer que si le triangle MNP est équilatéral direct alors m-n=-j(p-n)
b) établir la propriété suivante : le triangle MNP est équilatéral si et seulement si  m+nj+p j=0

2eme partie.

On considère un cercle du plan de centre o et des points A, B, C, D, E et F de ce cercle tels que les angles (OA ;OB)  (OC ;OD)  (OE ;OF) aient la meme mesure complexe /3.
Soient M, N,  et P les milieux respectifs des cordes [BC], [DE], [FA].
Montrer que le triangle MNP est équilatéral direct.

la premiere partie j'ai réussi par contre je n'arrive pas a utiliser les résultats précédents pour faire la deuxiéme partie..
pourriez vous m'aider
.
merci bcp

*** message déplacé ***

voila le graphe qui va avec l'exo.



*** message déplacé ***