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Niveau Maths sup
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complexe, identité de la médiane

Posté par canardo (invité) 21-09-05 à 22:18

Bonjour !
j'ai à montrer l'identité de la médiane, que j'ai réussi a faire, mais il faut montrer ensuite que :
|z|+|z'| = |u+((z+z')/2)| + |u-((z+z')/2)| sachant que u²= zz'

et j'y arrive pas ! Pouvez vous m'aidez ?
Je sais qu'il faut utiliser l'identité de la médiane (ca se voit à vu d'oeil) mais, j'ai tout essayer et je n'arrive à rien !

Merci d'avance pour votre aide,

Cordialement

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re:complexe, identité de la médiane 22-09-05 à 01:52

Bonsoir canardo;
tu connais l'identité du parallélogramme:
3$\fbox{|Z+Z'|^2+|Z-Z'|^2=2(|Z|^2+|Z'|^2)}
appliquons la pour \fbox{\{{Z=u\\Z'=\frac{z+z'}{2}} il vient que:
(*)3$\fbox{|u+\frac{z+z'}{2}|^2+|u-\frac{z+z'}{2}|^2=2(|u|^2+|\frac{z+z'}{2}|^2)=2|z||z'|+\frac{|z+z'|^2}{2}}
remarquons maintenant que:
3$\fbox{2|u+\frac{z+z'}{2}||u-\frac{z+z'}{2}|=2|u^2-\frac{(z+z')^2}{4}|=2|\frac{4zz'-z^2-z'^2-2zz'}{4}|=\frac{|z-z'|^2}{2}}
en ajoutant ceci à l'égalité (*)il vient que:
3$\fbox{(|u+\frac{z+z'}{2}|+|u-\frac{z+z'}{2}|)^2=2|z||z'|+\frac{|z+z'|^2+|z-z'|^2}{2}}
en réappliquant l'identité du parallélogramme cette fois pour z et z' on a que:
3$\fbox{(|u+\frac{z+z'}{2}|+|u-\frac{z+z'}{2}|)^2=2|z||z'|+|z|^2+|z'|^2=(|z|+|z'|)^2}
Conclure
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