Hello! Comme dans R c'est une convention

Merci!

Bonjour

Il est aisément démontrable que la limite en 0 de R de la fonction continue X^X existe et est 1. D'où la convention dans R que 0⁰ = 1.

Voyons ce qui se passe pour la limite de  z^z lorsque z tend vers zero:

Considérons z complexe en coordonnées polaires
z=r e^it, r reel positif

z^z = r^z e^{it * z}

****
r^z = r^{(rcost + i sint)} =  r^(rcost *  r^{i sint}
Rappel : un reel a une puissance imaginaire pure a pour module 1
|r^z| =  r^(rcost
****

e^{it * z}= e^{it * (rcost + i sint)} =  e^{i t * rcost - t sint}
=   e^{i t * rcost} *  e^{- t sint}

|e^{it * z}| =  e^{- t sint}


Ainsi
|z^z| =  r^(rcost  e^{- t sint}
Lorsque z tend vers 0,  r^(rcost  tend vers 1
Par contre,   e^{- t sint}  n'admet aucune limite oscillant vers - et + l infini.

En revoyant la conclusion de mon dernier message, et mon erreur de dire que e^{-t sint} oscille vers l infini, je me rends compte que la puissance a un nombre complexe est indéfinie puisque t est conventionnellement donne a 2kPi près.

Comment définit-on ?

sgu35 c'est une excellente question, et en général on peut pas y répondre sans précisions ! on a besoin d'avoir un certain ouvert de * (je crois connexe en plus de ça, faut vérifier) sur lequel existe une détermination du logarithme (je te laisse aller voir sur Internet). Le problème en gros c'est qu'il n'existe pas de "logarithme canonique", il en existe plein et c'est pas trop dur à montrer. Quand on a une détermination du logarithme que je vais noter log, on pose :



mais il faut bien comprendre que le log ici n'a rien à voir avec le logarithme népérien sur les réels, et que est une notation "abusive", histoire de se ramener à quelque chose qu'on connaît

Tu dois savoir définir pour et même pour si .
Tu dois savoir aussi que pour des exposants entiers, ce qu te permet de justifier en prenant .

Mais dès que tu sortiras des exposants entiers (même des exposants rationnels ou réels donneront des difficultés) il faudra commencer par définir soigneusement et là tu n'es pas sorti de l'auberge ! Les propriétés des exposants autres que entiers, étant très différentes des formules connues. En particulier  (c'est très utilisé comme attrape-nigauds) n'est pas égal à : tu peux essayer avec !