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complexe term s
term S:
Dans le plan complexe rapporté a un repere orthonormé direct (O;u;v),
on considere les points Mn d'affixe:
zn=((1/2i)exposant n )*(1+ 
(3)),
ou n est un entier naturel.
1°/Exprimer z(n+1) en fonction de z(n),puis z(n) en fonction de z(0) et n.
Donner z(0),z(1),z(2),z(3) et z(4) sous forme algebrique et sous forme trigonometrique.
2°/Déterminer la distance OM(n) en fonction de n.
3°/ a) Montrer que M(n)M(n+1)= (5)/(2)exposant n,pour
tout n entier naturel.
b)On pose: L(n)=M(o)M(1)+M(1)M(2)+...+M(n)M(n+1)
Déterminer L(n) en fonction de n puis la limite de L(n) quand n tend vers +
.
4°)Déterminer une mesure de l'angle (OM(0),OM(n))en fonction de n. Pour quelles
valeurs de n les points o, M(0) et M(n) sont ils alignés?
merci beaucoup pour votre aide !
1°)
z(n)=(((1/2)i)^n )*(1+V(3))
z(n+1)=(((1/2)i)^(n+1) )*(1+V(3))
z(n+1)=(((1/2)i)^n . (1/2)i )*(1+V(3))
z(n+1)=(((1/2)i)^n)*(1+V(3))*(1/2)i
z(n+1)=(1/2)i * Z(n)
---
zn est donc une suite géométrique de raison = (1/2)i et de premier terme
z(0), on a alors:
Z(n) = Z(0).[(1/2)i]^n
---
Z(0) = ((1/2)i)^0*(1+V3) = 1+V3 forme algébrique.
Z(0) = (1+V3).(cos(0) + i.sin(0)) forme trigonométrique.
Z(1) = (1+V3).(1/2)i forme algébrique.
Z(1) = (1/2).(1+V3).(cos(Pi/2) + i.sin(Pi/2)) forme trigonométrique.
Z(2) = (1+V3) .((1/2)i)² = -(1/4).(1+V3) forme algébrique.
Z(2) = (1/4).(1+V3).(cos(Pi) + i.sin(Pi)]. forme trigonométrique.
Z(3) = (1+V3) .((1/2)i)³ = -(1/8).(1+V3).i forme algébrique.
Z(3) = (1/8).(1+V3).(cos(3Pi/2) + i.sin(3Pi/2)) forme trigonométrique.
Z(n) = (1/2)^n.(1+V3).(cos(n.Pi/2) + i.sin(n.Pi/2)) forme trigonométrique.
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2°)
OM(n) = (1/2)^n .(1+V3)
-----------
3°)
a)
Z(n) = (1/2)^n.(1+V3).(cos(n.Pi/2) + i.sin(n.Pi/2))
Z(n+1) = (1/2)^(n+1) .(1+V3).(cos((n+1).Pi/2) + i.sin((n+1).Pi/2))
Z(n+1) = (1/2)i * Z(n)
En posant Z(n) = a(n) + i.b(n)
->
Z(n+1) = (1/2)i * (a(n) + i.b(n))
z(n+1) = -(1/2).b(n) + (1/2).a(n).i
|M(n)M(n+1)|² = (a(n) + (1/2).b(n))² + (b(n) - (1/2)a(n))²
|M(n)M(n+1)|² = (a(n))² + a(n).b(n) + (1/4)(b(n))² + (b(n))² - a(n).b(n) + (1/4)(a(n))²
|M(n)M(n+1)|² = (5/4)[(a(n))² + (b(n))²]
|M(n)M(n+1)|² = (5/4).|Z(n)|²
|M(n)M(n+1)|² = (5/4).((1/2)^n .(1+V3))²
|M(n)M(n+1)| = ((V5)/2).((1/2)^n .(1+V3))
Différent de ce que tu as écrit. Cherche l'erreur soit dans ma réponse,
soit dans l'énoncé.
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b)
M(0)M(1)+M(1)M(2)+...+M(n)M(n+1) = [(1+V3).(V5)/2].((1/2)^0 + (1/2)^1 + (1/2)^2 + ... + (1/2)^n]
(1/2)^0 + (1/2)^1 + (1/2)^2 + ... + (1/2)^n est la somme de n+1 termes en
progression géométrique de raison (1/2) et de premier terme = 1.
(1/2)^0 + (1/2)^1 + (1/2)^2 + ... + (1/2)^n = 1*[(1/2)^(n+1)-1]/[(1/2)-1]
= 2.[1-(1/2)^(n+1)]
M(0)M(1)+M(1)M(2)+...+M(n)M(n+1) = [(1+V3).(V5)/2].2.[1-(1/2)^(n+1)]
L(n) = M(0)M(1)+M(1)M(2)+...+M(n)M(n+1) = [(1+V3).(V5)].[1-(1/2)^(n+1)]
lim(n->oo) L(n) = [(1+V3).(V5)].[1-0] = (1+V3).(V5)
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4°)
angle (OM(0),OM(n)) = n.Pi/2
O, M(0) et M(n) sont alignés pour n.Pi/2 = k.Pi
-> n = 2k avec k dans N.
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Sauf distraction.
Cherche après l'erreur mentionnée au point 3a.
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