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Niveau autre
Complexe (z-i)^4 + (z+1)^4 = 0
Posté par Destin
Saloute tout le monde.
Comme dit précédemment, je dois résoudre cette equation :
(z-i)^4 + (z+1)^4 = 0
Alors je suis partie sur la formule
Somme de 0 à 4 (k parmis 4) z^k*(-i)^4-k
Somme de 0 à 4 (k parmis 4) Z^k * 1^4-k
Ce qui nous donne a première vue :
1 * 1 +4 z * -i +6 z^2 * +1 +4 z^3 * -i + z^4 *1
1 * 1 +4z + 6z²+ 4 z^3 + z^4
2 +4z (-i+1) +12 z² + z^3 (-i+1)+ 2z^4 = 0
Ce qui m'avance pas énormement. Donc suis je obligé de transformer l'expression sous la forme
(z-i)^4
________ = 1 et résoudre l'équation avec la résolution de l'unité, ou ai-je fais une erreur dans mon taff?
-(z+1)^4
Et De plus je voudrais aussi un ptit bonus
Je cherche z pour que le module de |(3+4i)|/|(z)| = |1-z|
3+4i/ z = 1-z.
Donc je trouve
3+4i = z-z²
|3+4i| = 5
Je sais que je ne dois pas résoudre : -z² + z - 5 =0 mais je ne vois pas quoi faire pour trouver z pour que c'est deux expression ai le même module.
Merci D'avance.
A supposer que mon calcul est bon :
Je trouve
(z²-1 +i(z²+1)) (z²-1+i(-z²-4z-1) = 0
il faudrait donc que
z² = 1
et
z² = -1
Ce qui semble difficilement possible
ou
z² = 1
et
-z²-4z-1 =0
Ce qui semble également impossible...
S ={ ensemble vide}?
Reprenons le calcul
((z-i)²)² - (i(z+1)²)²
a²-b² = (a+b) (a-b)
((z-i)²+(i(z+1)²) ((z-i)²-(i(z+1)²)
((z²-2zi-1)+iz²+2zi+i) ((z²-2zi-1)-iz²-2zi-i)
(z²+iz²-1+i) (z²-iz²-4zi-1-i)
(z²-1+i(z²+1)) (z²-1+i (-z²-4z-1)
Un nombre complexe est nul si sa partie imaginaire et si sa partie réelle sont nules.
d'ou les équations au dessus...
Bonjour 
Sinon, tu peux aussi utiliser les racines quatrième de l'unité :
(z-i)^4 + (z+1)^4 = 0 <=> [(z-i)/(z+1)]^4 = -1 pour z différent de -1
Or les racines quatirèmes de 1 sont : exp(2i.k.pi/4) k allant de 0 à 3 Donc celle de -1 sont :
exp(i.pi).exp(2i.k.pi/4) je te laisse continuer 
Bonjour,
Il faut donc pour que z soit solution que :
(z-i)/(z+1) = exp (i.pi)
ou que
(z-i)/(z+1) = exp (i.pi). exp(i.pi/2)
(z-i)/(z+1) = exp (i.pi). exp (i.pi) = 1
(z-i)/(z+1) = exp (i.pi) . exp (6i pi/4)
C'est ca?
Merci pour ton aide, et merci aussi carpediem 
désolé, je mangeais...
ton 1e facteur donne:z²-(1-i)²/2=0 (à nouveau a²-b² soit exp(+-1
/4)/[smb]....
le 2e facteur donne z²+2(1-i)z+1= (z+1-i)²+2i+1
il faut donc trouver les racines carrées de -(2i+1)...
de rien
- (2i+1) = (-1) (2i+1) = (i(i+1))² + 1
Je trouve pas mieux...
En pourrait utiliser ça après :
(i(i+1))² - 1²
mais je suis pas sur que ca soit utile :s
Bon de toute manière, j'ai eu ma dose de maths ce soir !
Carpediem, le lyonnais, bonne nuit !
Je verrais ça demain si je ne trouve pas !
La nuit porte conseil !
Re
Je détail ma méthode :
[(z-i)/(z+1)]^4 = -1 en posant Z = (z-i)/(z+1)
On cherche Z tq : Z^4 = -1 = exp(i.pi). On peut écrire Z = r.exp(ix)
r^4.exp(i4x) = exp(i.pi) donc r = 1 et x = pi/4 + 2.k.pi/4 = (2k+1).pi/4 avec k dans {0,1,2,3}
Ainsi :
(z-i)/(z+1) = exp[i(2k+1).pi/4]
Il ne reste plus qu'a exprimer z, ce n'est pas très difficile
Merci =]
(z-i)/(z+1) = exp [i(2k+1).pi/4]
(z-i) = z exp [i(2k+1).pi/4] + exp[i(2k+1).pi/4]
-i - exp[i(2k+1).pi/4] = z (exp[i(2k+1).pi/4] - 1)
d'ou z = (-i - exp [i(2k+1).pi/4) / (exp[i(2k+1.pi/4] - 1)
exp[i(2k+1.pi)/4 différent de 1
Ce qui a premiere vu ne se simplifie pas.
Je te remercie pour ta méthode, j'vais finir celle de carpediem mais, je pense que j'utiliserai la tienne.
Donc, Voyons les racines carrés de -(2i+1):
(i+(-1))²-1²
Je trouve pas mieux...
Je t'en prie
Par contre :
(z-i)/(z+1) = exp [i(2k+1).pi/4]
z-i = (z+1).exp[i(2k+1).pi/4]
z.(1-exp[i(2k+1).pi/4]) = i + exp[i(2k+1).pi/4]
Or tu sais que i = exp[i.pi/2] donc :
i + exp[i(2k+1).pi/4] = i + exp[i.[(2k+1).pi/4 - pi/2 + pi/2]] = i + exp[i.pi/2].exp[i(2k-1).pi/4] = i.(1+exp[i(2k-1).pi/4])
donc :
z = i[1+exp[i(2k-1).pi/4]]/(1-exp[i(2k+1).pi/4])
Ensuite, pour simplifier cette expression utilises que :
cos(x) = (exp(ix)+exp(-ix))/2 et sin(x) = (exp(ix)-exp(-ix))/(2i)
Pour cela, factorises par l'angle moitié au numérateur et au dénominateur !
Ex au numérateur, factorises par : exp[i(2k-1).pi/8] !
A bientôt
Et n'oublie pas qu'a priori, tu auras 4 solutions au problème, parce que k peut valoir 0,1,2 ou 3
N'hésites pas à poser des questions si tu en as
Sinon pour trouver les racines carrés se -2i-1
En formalisant le problème, tu cherches z tel que :
z² = -2i-1 si tu poses z = a+ib tu as : a²-b²+2iab = -2i-1 par idéntification :
a²-b² = -1
ab = -1
Il te faut une infomation suplémentaire, tu l'obtiens en prenant le module :
|z²| = |z|² = a²+b² = |-2i-1| = racine(2²+1²) = V(5)
Donc :
a²-b² = -1 (1)
ab = -1 (2)
a²+b² = V(5) (3)
Avec (1) et (3) tu trouves donc :
a² = (-1+V(5))/2 et b² = (1+V(5))/2
Il faut vérifier ab = -1 donc a et b de signe contraire, ainsi il y a 2 solutions :
z1 = V[(-1+V(5))/2] - i.V[(1+V(5))/2 et z2 = -V[(-1+V(5))/2] + i.V[(1+V(5))/2
Mais je penses que c'est plus compliqué que ma méthode ...