Bonsoir,
M(t) = 1/2*<i>e</i>^2*i*t + 1/2  
Et bien   <i>e</i>^2*i*t   décrit un cercle de rayon 1 et de centre 0 dans le repère complexe.
1/2*<i>e</i>^2*i*t décrit un cercle aussi, de centre 0, mais de rayon 1/2.

1/2*<i>e</i>^2*i*t <b> + 1/2 </b>   décrit le meme cercle, qui a subi une translation d'un vecteur d'affixe 1/2, dans le repère complexe (vecteur (1/2;0) dans le plan). Donc son centre est 1/2.
Finalement, M(t) décrit un cercle de rayon 1/2 et de centre I, d'affixe 1/2

Ghostux

La démo de Ghostux est parfaite et celle attendue, je donne une autre manière de faire juste pour info.

z = cos().e^(i.)
z = cos().(cos()+i.sin()
z = cos²() + i.cos().sin()

A comparer avec z = x+iy
->
x = cos²()
y = cos().sin()

cos()= +/- x
sin()= +/-(1-x)
->
y = +/-[(1-x).x]
y² = (1-x)x = x - x²
y² + x² - x = 0
y² + (x - (1/2))² = 1/4
Qui est l'équation du cercle de centre (1/2 ; 0) et de rayon = 1/2
-----
Sauf distraction.

merci ^^

pour la méthode de Ghostux, on sait que la distance entre le point M et le centre du repère est 1/2, c'est pourquoi on en déduit que l'ensemble des points M décrit un cercle, c'est ça? On ne se préoccupe pas de l'angle ( en rapport avec e2*i*t ), je veux dire de l'argument.........

Non c'est pas (directement) ca, c'est que <i>e</i>^i*t décrit un cercle de toutes facons.
R*<i>e</i>^i*t décrit un cercle de rayon R. Et translaté de a+bi (R*<i>e</i>^i*t + a +bi), il aura pour centre , a+bi, dans le repère complexe. (ici notre b=0 et a = 1/2 , et R=1/2)

"on sait que la distance entre le point M et le centre du repère est 1/2" --> ca c'est faux.
  |M(0)| = 1 , pour |M(pi/2)| = 0
  |Z_M[sub]0[/sub] - 1/2| = 1/2 , ca c'est vrai. Tu vois la différence?

Ghostux

je voulais dire que OM=|Zm - Zo|=1/2 , non? (vaec M(z)=1/2*e2*i*t )
en fait je comprends toujours pas :
..................

  Euh non non, ne confonds pas  O (d'affixe 0) et (ce que j'ai appelé I) le centre du cercle. Le cercle n'est pas centré.

  Biensur, si M(t) = 1/2*e^2*i*t, OM = 1/2 , mais c'est pas le cas .
M(t) = 1/2+1/2*e^2*i*t, donc, comme je disais, ton cercle de centre O, subit une translation de vecteur d'affixe 1/2.

C'est plus clair là ?

Ghostux

B'jour,

J'ai juste une question :
R*e^i*t décrit un cercle de centre O et de rayon R, et R*e^2*i*t aussi ?
Y a pas de différence ou... J'ai raté un truc ?

Bonjour Emmylou
<quote >
<i>R*ei*t décrit un cercle de centre O et de rayon R, et R*e2*i*t aussi ?
Y a pas de différence ou... J'ai raté un truc ?
</i></ quote>

Hum en fait,
e^i*t*k = cos(k*t) + i*sin(k*t)
et pour tout réel:
cos()+i*sin() décrit un cercle, il suffit de poser = k*t.

Pas d'accord ?

Ghostux

Si

En fait, je crois que sur le coup j'ai pas réalisé que était un angle, je pensais au rayon...

Moui, enfin, mea culpa j'ai encore dit un bêtise, autant pour moi, la prochaine fois je réfléchirais plus

J'ai envi de dire qu'il y a que les machines qui se trompent jamais.

Ghostux