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Niveau Maths sup
Complexes
Posté par st1fl3r
Bonjour à tous !
Encore un exo sur les complexes où je reste bloqué ...
énoncé:
Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que M(z),N(z²),P(z3) forment un triangle rectangle en P.
MN² = MP² + PN²
|z²-z|² = |z3-z|² + |z²-z3|²
|z|²|z-1|² = |z²|²|z-1|² + |z²|²|1-z|²
or |1-z| = |-1(z-1)| = |-1||z-1| = |z-1|
donc en simplifiant par |z-1|
|z|² = |z²|² + |z²|²
|z|² = 2|z²|²
je pose z=x+iy
x²+y² = 2(x+iy)²(x-iy)²
= 2(x²+2ixy-y²)(x²-2ixy-y²)
= 2(x4+2x²y²+y4)
= 2(x²+y²)²
1 = 2(x²+y²)
1 = 2x²+2y²
et maintenant je suis coincé je ne vois pas l'ensemble j'ai besoin de votre aide svp
Merci
Salut,juste à vue d'oeil...tu peux pas te débrouiller pour avoir un cercle là en faisant passer le 1 de l'autre coté?
(j'ai pas bien tout regardé)
Bonjour st1fl3r !
Sur ta deuxième ligne écrite avec les z, tu n'aurais pas décalé par erreur un carré ?
Citation :
|z|²|z-1|² = |z²|²|z-1|² + |z²|²|1-z|²
|z|²|z-1|² = |z²|²|z-1|² + |z²|²|1-z|²
Il me semble que :
|z|²|z-1|² = |z|²|z2-1|² + |z²|²|1-z|²
conviendrait mieux
Du coup, tu arrives à :
(x + 1/2) + y2 = 1/4
qui est l'équation d'un cercle de centre I(-1/2 ; 0) et de rayon 1/2.
Cela dit, pour en arriver là, tu as simplifié par |z-1|2. Ce qui suppose que cette quantité est différente de 0.
Mais les z qui vérifient |z-1|2 = 0 sont aussi solution de ton problème. On trouve (x - 1)2 + y2 = 0
C'est l'équation du cercle (dégénéré 
) de centre A (1 ; 0) et de rayon 0.
merci
ça dépend ... pour la ressenblance physique ou mental ^^
c'est les gens du lycée qui m'ont surnomées ainsi !!
Je regardais le rugby : désolé
|z|²|z-1|² = |z|²|z2-1|² + |z²|²|1-z|²
z = 0 est solution (M = N = P)
Si z 
0, on peut simplifier par |z|². Il reste :
|z-1|² = |z-1|²|z+1|² + |z|²|1-z|²
z = 1 est solution (là encore, M = N = P)
Si z 1, on peut simplifier par |z-1|². Il reste :
1 = |z+1|² + |z|²
En posant z = x + iy, on trouve :
1 = [(x + 1)2 + y2] + [x2 + y2]
Et tu retombes sur l'équation annoncée 
J'ai peut-être fini un peu rapidement. Pour retomber sur l'équation du cercle on constate que :
x2 + x + y2 = 0 peut s'écrire :
[x2 + 2
(1/2)x + 1/4] - 1/4 + y2 = 0
(x + 1/2)2 - 1/4 + y2 = 0
En espérant que tu liras ce post avant de te coucher ...