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Complexes:
Bonjour, j'ai un contrôle vendredi sur les nombres complexes et c'tait pour savoir si vous aviez l'amabilité de pouvoir corrigé mon exercice de type bac car ça regoupe un l'ensemble de tous les exercices que l'on peut donner au bac. Merci beaucoup pour celui qui va repondre:
EXERCICE:
Le plan est repporté à un repère orthonormal direct(O,u,v)
Dans l'ensemble des nombres complexes (D à l'envers), i désigne le nombre de module 1 et d'argument pi/2.
On apelle fonctionf l'application, qui, à tout nombre complexe z différent de -2i associe:
Z=f(z)=(z-2+i)/(z+2i)
Calculer f(2i) puis résoudre l'équation f(z)=i
1. Si z=x+iy, x et y étant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et de y.
On vérifiera que Re(Z)=(x²+y²-2x+3y+2)/(x²+(y+2)²)
En déduire la nature de:
a. L'ensemble E des points M d'affixe z, tel que Z soit un réel.
b. L'ensemble F des points M d'affixe z du plan tels queZ soit un imaginaire pu éventuellement nul.
c. <Représenter ces 2 ensembles.
2. On apelle A et B les points d'affixes respectives zA=2-i et zB=-2i. En remarquant que Z=(z-zA)/(z-zB) retrouver les ensembles E et F par une méthode géométrique.
3. Calculer Valeur absolue de f(z)-1* valeur absolue de z+2i, et déduire que les points M' d'affixe Z, lorsque le point M d'affixe z parcourt le cercle de centre B et de rayon recine de 5, sont tous sur un même cercle dont on précisera le rayon et l'affixe du centre.
Si vous pouvez expliquez bien par détails si ça vous dérange pas!Merci beaucoup pour celui qui va repondre.Aurevoir.
bonjour marseillais123
dans l'expression de f(z) remplacer z par 2i et effectuer les calculs
moi j'ai trouvé f(2i)=(3+2i)/4
pour résoudre f(z)=i vous remplacez f(z) par son expression et vous résolvez l'équation du premier degré.
moi j'ai trouvé:
z=(1-i)/2
1) pour RE(Z) faites les calculs.
a)Pour cette question voici une méthode plus directe que le développement de Z en fonction de x et y:
Z est réel ssi Z=Zbar
ssi (z-2+i)/(z+2i)= (zbar-2-i)/(zbar-2i)
ssi (z-2+i)(zbar-2i)=(zbar-2-i)(z+2i)
ssi zzbar-2iz+(-2+i)zbar+2+4i=zbarz+2izbar-(2+i)z-4i+2
ssi z(-2i+2+i)+(-2+i-2i)zbar+8i=0
ssi z(2-i)-(2+i)zbar+8i=0
ssi 2iIM(z(2-i))=-8i
ssi Im(z(2-i))=-4
z(2-i)=(x+iy)(2-i)=2x+2iy-ix+y=(2x+y)+i(2y-x)
donc Z est réel ssi 2y-x=-4
ssi x-2y=4
c'est l'équation d'une droite.
en général: az+(abar)(zbar)+ccbar =0 est l'équation d'une droite.
b) procédez de la même manière.
2)Z=(z-zA)/(z-zB)
Z réel ssi arg(Z)=O mod(Pi)
comme arg(Z)=(AM,BM) son ssi AB et M sont alignés ssi M appartient à la droite AB.
donc E=(AB)
faites de même^pour F.
3)faites les calculs SVP. Moi j'ai trouvé:
f(z)-1=(-2-i)/(z+2i)
donc
(f(z)-1)(z+2i)=-2-i
donc |f(z)-1|.|z+2i|=|(f(z)-1)(z+2i)|=|-2-i|=rc(5);
si M appartient au cercle de centre B et de rayon rc(5) alors |z+2i|=rc(5)
en remplaçant dans |f(z)-1|.|z+2i|=rc(5);
on obtient |f(z)-1|.rc(5)=rc(5);
donc |f(z)-1|=1;
donc M' appartient au cercle de centre (1,0) et de rayon 1.
voila
je vous remercie.
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