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complexes

Posté par thanatos (invité) 31-08-05 à 16:12

quelqu'un peut il m'aider a résoudre (z+i)^3 = i svp car je suis perdu ! Il me semble qu'il faut trouver la forme canonique , mais je n'y arrive pas !
merci

Posté par re : complexes 31-08-05 à 16:16

Bonjour

L'équation équivaut a :
$3$\rm (z+i)^{3}-i=0$
Or :
$3$\rm -i=-1\times i=i^{2}\times i=i^{3}$
On doit donc résoudre :
$3$\rm (z+i)^{3}+i^{3}=0$
Soit en factorisant :
$3$\rm (z+i+i)(z^{2}-i(z+i)+i)=0$

Je te laisse continuer

Jord

Posté par re : complexes 31-08-05 à 16:35

Nightmare,

Deux fautes de frappe : $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Donc $(z+i)^3+i^3=((z+i)+i)((z+i)^2-(z+i)i+i^2)$

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par re : complexes 31-08-05 à 16:39

Autre méthode :

$(z+i)^3=i$
$\Leftrightarrow (z+i)^3=e^{i\frac{\pi}{2}}$
$\Leftrightarrow z+i = e^{i\frac{\pi}{6}}$ ou $e^{i(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3})}$ ou $e^{i(\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3})}$
$\Leftrightarrow z+i = e^{i\frac{\pi}{6}}$ ou $e^{i\frac{5\pi}{6}$ ou $e^{i\frac{3\pi}{2}}$
$\Leftrightarrow z+i = \frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}$ ou $-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}$ ou $-i$
$\Leftrightarrow z = \frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}$ ou $-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}$ ou $-2i$

Nicolas

Posté par re : complexes 31-08-05 à 16:44

Euh oui exact autant pour moi nicolas

Posté par thanatos (invité)re : complexes 31-08-05 à 18:41

merci beaucoup !

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