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Complexes

Posté par
storm61 18-09-12 à 16:39

Bonjour,

J'ai un exercice sur les complexes que je n'arrive pas à faire ..
Voici l'énoncé:

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O; ; ).
A tout nombre complexe z=x+yi, z-1, on associe le nombre complexe Z=(2iz-i)/(z+1).

1)exprimez Z barre en fonction de z barre (désolé je n'ai pas trouvé comment écrire le "barre" autrement)
2a) Justifiez que |Z|=1 équivaut à Z*Zbarre=1.
b) démontrez que l'ensemble E1 des points M d'affixe z tels que |Z|=1 est un cercle que l'on construira dans le repère (O;;).
3a) Justifiez que Z est imaginaire pur équivaut à z+zbarre=1
b) Déduisez en l'ensemble E2 des points M d'affixe z tels que Z est imaginaire pur .

Merci d'avance de votre aide

Posté par
Labore : Complexes 18-09-12 à 17:25

Bonjour

1)\bar{Z}=\frac{\bar{2iz-i}}{\bar{z+1}}
=\frac{-2i\bar{z}+i}{\bar{z}+1}

Posté par
storm61re : Complexes 18-09-12 à 17:58

D'accord

Par contre pour la 2, je n'ai pas appris à faire le module d'un quotient. J'ai essayé de faire Z*Z barre mais ça ne me donne rien :S.
Peux tu m'aider ?

Posté par
Labore : Complexes 18-09-12 à 18:07



Citation :
2a) Justifiez que |Z|=1 équivaut à Z*Zbarre=1.

il faut  utiliser ceci:
pour tout nombre complexe
z=a+bi
|z|=\sqrt{a^2+b^2}
et  
z.\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=...


2b)par conséquent pour calculer |Z| tu  calculeras
le produit Z\times \bar{Z}=

Posté par
Labore : Complexes 18-09-12 à 18:08

2b)par conséquent pour calculer |Z| tu  calculeras
le produit Z\times \bar{Z}=...

Posté par
storm61re : Complexes 18-09-12 à 18:24

Pour la b , je ne comprends pourquoi il y a besoin de calculer |Z| ..
pour ZZbarre, je trouve (2z*zbarre -2zbarre-2z+1)/(z*zbarre+z+zbarre+1), ce qui est égal à 1 en simplifiant.
Mais après comment faire pour justifier que E1 est un cercle du repère ?

Posté par
Labore : Complexes 18-09-12 à 20:21

2a)tu dois justifier que si \red{|Z|=1}  alors  |Z|=Z.\bar{Z}
2b pour déterminer

Citation :
E1 des points M d'affixe z tels que {\red|Z|=1} est un cercle

il faut bien calculer |Z| =1 non ?

({\red 2}z*zbarre -2zbarre-2z+1)/(z*zbarre+z+zbarre+1)
je ne trouve pas 2 z\bar{z}
2*2=4 non ?

Posté par
storm61re : Complexes 19-09-12 à 12:59

Mais en faisant ZZbarre, je trouve 1 comme résultat...
Et , en fait, je ne comprends pas vraiment la question. Comment peut-on démontrer que c'est un cercle du repère? Il suffit de calculer ZZbarre, c'est tout ?

Posté par
Labore : Complexes 19-09-12 à 14:17


Justifiez que |Z|=1 équivaut à Z\bar{Z}=1

pour tout nombre complexe
Z=a+bi
|Z|=\sqrt{a^2+b^2}
et  
Z.\bar{Z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2.
|Z|=1=\sqrt{a^2+b^2} \\ 1^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=a^2+b^2 \\ Z\bar{Z}=1 \\ d'où \\ Z.\bar{Z}=|Z|=1

Posté par
Labore : Complexes 19-09-12 à 14:25

pour le cercle
\\ Z\bar{Z}=\frac{4z\bar{z}-2(\bar{z}+z)+1}{z\bar{z}+\bar{z}+z+1}=1 \\ 4z\bar{z}-2(\bar{z}+z)+1=z\bar{z}+\bar{z}+z+1 \\ 3z\bar{z}-3(\bar{z}+z)=0 \\ z\bar{z}-(\bar{z}+z)=0
z=x+iy
tu reportes et tu termines le calcul.
rappel équation d'un cercle  de centre (a;b)et de rayon r
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Posté par
storm61re : Complexes 19-09-12 à 16:07

D'accord,

donc je trouve que c'est le cercle de centre (-1;0) de rayon 1 . Est ce que c'est bon ?

Posté par
storm61re : Complexes 19-09-12 à 16:16

Pour la 3, par contre, j'ai commencé à la a) mais j'arrive au résultat contraire de ce qu'on attend...
J'ai commencé à faire:
z+zbarre=1 , donc x+iy+x-iy=1
                   2x=1
                   x=1/2
donc je ne pense que ce soit ça parce que là, ça donne un nombre réel. Comment faire ?

Posté par
Labore : Complexes 19-09-12 à 21:36

pour le cercle je ne trouves pas le même centre
z\bar{z}-(\bar{z}+z)=0
z=x+iy
\bar{z}=x-iy
z\bar{z}=x^2+y^2
z+\bar{z}=2x

z\bar{z}-(\bar{z}+z)=0
x^2+y^2-2x=0
(x-1)^2+y^2=1
centre (1;0) rayon 1

3)
Si  z+\bar{z}=1 \\ z=a+bi \\ \bar{z}+z=2a \\ a=0,5 \\ z=0,5+ib \\ 2iz-i=i-2b-i=-2b
Z=\frac{(-2b)(0,5-ib)}{0,25+b^2}
ce n'est pas un imaginaire pur...

Posté par
Labore : Complexes 19-09-12 à 21:37

pour le cercle je ne trouves pas le même centre
z\bar{z}-(\bar{z}+z)=0
z=x+iy \\ \bar{z}=x-iy \\ z\bar{z}=x^2+y^2 \\ z+\bar{z}=2x

Posté par
Labore : Complexes 19-09-12 à 21:38

pour le cercle je ne trouves pas le même centre

z=x+iy \\ \bar{z}=x-iy \\ z\bar{z}=x^2+y^2 \\ z+\bar{z}=2x

z\bar{z}-(\bar{z}+z)=0 \\ x^2+y^2-2x=0 \\ (x-1)^2+y^2=1
centre (1;0) rayon 1

Posté par
storm61re : Complexes 20-09-12 à 14:32

Pour la 3, je n'ai pas compris à partir de: -2iz-i=i-2y-i, peux tu m'expliquer à quoi cela correspond?
Et normalement, il faudrait trouver que ce soit un imaginaire pur, non? Puisqu'il dise qu'il faut justifier que Z est un imaginaire pur quand z+zbarre=1 ... Sinon, comment faire la 3b ?
merci d'avance pour ton aide

Posté par
Labore : Complexes 20-09-12 à 15:34

Citation :
Pour la 3, je n'ai pas compris à partir de: -2iz-i=i-2y-i, peux tu m'expliquer à quoi cela correspond?


je n'ai pas écrit cela???
j'ai écrit :
z=a+ib \\ \bar{z}=a-ib \\ z+\bar{z}=1=2a \\ a=0,5 \\ z=0,5+ib \\ 2iz-i=2i(0,5+ib)-i=i-2b-i=-2b \\
et ensuite Z n'est pas imaginaire...
vérifie l'énoncé


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