Bonjour

z = -cos - i sin
= -(cos + i sin )
= - eⁱ
= e^-i eⁱ
= e^{i(- )}



z = i (cos + i sin)
= e^i/2 eⁱ
= e^{i(/2 + )}


Sauf erreur de ma part,
voilà déjà pour le début, bon courage...

mais j'ai pas appris encore la forme exponentielle d'un
nombre complexe...

la il faudrait mettre sous la forme :
z = r(cos + i sin )

merci d'avance...
a+

D'accord, alors je te propose une autre démonstration :


z = -cos - i sin
= -(cos + i sin )
= (cos + isin/)(cos + i
sin )
= cos cos - sin sin
+ i(sincos + cossin)
= cos(+) + i sin(+)




Et pour le deuxième :
z = i (cos + i sin)
= (cos /2 + i sin/2 )(cos
+ i sin)

Tu développes, tu utilises les formules de trigonométrie et tu devrais
trouver :
z = cos(+/2) + i sin(+/2)


Sauf erreur de calcul. Bon courage ...

merci océane !!
j'ai trouvé pareil mais j'étais pas sur... et comme c'est ramassé...

et est-ce que tu pourrais me donner une piste pour la 2e démonstration
que jai posté dans le 1er message stp...

merci beaucoup en tout cas...
a+

Alors je me lance pour le dernier

z = r(cos+ i sin)

Donc :
|z| = z + z(barre)
équivaut à
r =r(cos+ i sin) + r(cos
- i sin )
1 = 2 cos
cos = 1/2
= /3 + 2k
ou
= - /3 + 2k
avec k

et r quelconque.

donc :
l'ensemble cherche est la réunion de deux demi-droites d'origine O et telles
que :
la première demi-droite de vecteur directeur vérifie
:
( , ) = /3
et
la deuxième demi droite de vecteur directeur vérifie
:
, ) = - /3


Dans un repère orthonormal (O; , ).


Voilà sauf erreur de ma part.
J'espère avoir été suffisamment clair. Bon courage ...

oui merci beaucoup !!
par contre jai pas trouvé ca ... Mais je pense que ce que tu m'a
fait va bien m'aider...
encore merci océane...
a bientot...
bisous

Je ne sais pas, revois ce que j'ai fait il y a peut-être une
erreur

ba moi jai trouvé :
|z| = z + z(barre)
soit z = x+iy  (x et y réels)
|z| = x+iy + x-iy
|z| = 2x
|z| doit etre strictement supérieur a 0...
donc :
2x > 0
x > 0

Donc les points M d'affixe z vérifiant cette relation ont une partie
réelle positive...

Est-ce bon ?

Les z que j'ai trouvés ont bien une partie réelle positive mais
tous les complexes ayant une partie réelle positive ne sont pas solutions
de ton équation.

Par exemple si je prends z = + i, c'est bien un nombre complexe
avec une partie réelle positive et pourtant il ne vérifie pas ton
équation.

Donc Re(z) positif, ca ne suffit pas.

Voilà voilà

ah ok...
ba merci pour ton aide Océane...
je vais tout refaire et m'appuyer sur ce que tu ma dit...

a+ bisous

oups pardon, j'ai oublié le 1.
Prends par exemple z = 1 + i et tu verras que ce nombre complexe ne vérifie
pas ton équation.

Bon courage ...

Il me semble que vous cherchez bien loin pour le dernier.

z = x + iy
z(barre) = x - iy

z + z(barre) = 2x
|z| = V(x²+y²)    V pour racine carrée.

|z|  = z + z(barre)
V(x²+y²)    = 2x

(qui impose x > 0)      (1)
On élève au carré ->
x² + y² = 4x²
y² = 3x²
y = +/- V3 *x      (2)

(1) et (2) -> L'ensemble des points M dont l'affixe z vérifie
:
|z| = z + z(barre)  est constitué de 2 demi droites d'équation y
= +/- V3 *x      avec x >= 0.
-----
Sauf distraction.

J'ai voulu mettre:
... (qui impose x >= 0)      (1)
dans ma réponse précédente.

ah oui effectivement on est allé bien trop loin...
merci J-P !!!!
Je re-re-refais cet exo !!! lol  

a+