stp Océane aide moi... ou quelqu'un d'autre ...

1)
Les conventions de langage ayant évolués depuis le temps ou j'usais
mes pantalons à l'école, il faut se méfier que je n'aie
pas mis le repère comme demandé.

Notons zo l'affixe du point O. etc ...

zo = 0
zb = -1
za = X + iY
zc = -1 - i
zu = -i

vect(OA) = X + iY
vect(ON) = Y - iX   (car perpendiculaire à OA et de même norme).
-> zn = Y - iX

vect(OP) = vect(ON) + vect(NP)
vect(OP) = vect(ON) + vect(OA)
vect(OP) = Y - iX + X + iY
vect(OP) = Y + X - i(X - Y)
zp = Y + X + i(Y - X)

vect(OG) = vect(OU) + vect(UG)
vect(OG) = vect(OU) + vect(ON)
vect(OG) = -i + Y - iX
vect(OG) = Y - i(X + 1)
zg = Y - i(X+1)

(zg - zc) / (zg - zp) = (Y - i(X+1) - (-1-i))/(Y - i(X+1) -  Y - X -
i(Y - X))
(zg - zc) / (zg - zp) = (Y + 1- iX)/(-X - i(Y+1))

|(zg - zc) / (zg - zp)|² = [(Y+1)²+X²]/[X² + (Y+1)]
|(zg - zc) / (zg - zp)|² = 1
|(zg - zc) / (zg - zp)| = 1 -> |GC| = |GP| et le triangle CGP est isocèle
en G.  (1)

(zg - zc) / (zg - zp) =  (Y + 1- iX)(-X + i(Y+1) )/[(-X - i(Y+1)). (-X
+ i(Y+1))]
(zg - zc) / (zg - zp) =  (-XY+i(Y²+Y)-X+i(Y+1)+iX²+XY+X )/[X²+(Y+1)²]
(zg - zc) / (zg - zp) =  i(Y²+2Y+1+X²)/[X²+(Y+1)²]
arg((zg - zc) / (zg - zp)) = Pi/2  (à cause du i)
-> GC est perpendiculaire à GP et le triangle CGP est rectangle en G
  (2)

(1) et (2) -> triangle CGP est isocèle rectangle en G.
-----
2)
On montre avec un repère comme dans le (1) mais qu'on ne considère
plus dans un plan complexe:

O(0 ; 0)
B(-1 ; 0)
A(X ; Y)
U(0 ; -1)
C(-1 ; -1)
Et de manière analogue au 1 de l'esercice, on trouve:
N(Y ; -X)
P(Y+X;Y-X)
G(Y ; -(1+X))

vect(CG) : (Y+1 ; -(1+X)+1)
vect(CG) : (Y + 1; -X)

vect(GP) = (Y+X-Y ; Y-X+1+X)
vect(GP) = (X ; Y+1)

vect(CG).vect(GP) = (Y+1).X - X(Y+1) = 0
et donc CG et GP sont perpendiculaire et le triangle CGP est rectangle
en G   (3)

|vect(CG)|² = (Y+1)² + X²
|vect(GP)|² = X² + (Y+1)²
-> |vect(CG)| = |vect(CP)| et donc le triangle CGP est isocèle en G
   (4)

(3) et (4) -> triangle CGP est isocèle rectangle en G.
-----
Je laisse continuer un autre volontaire ...

merci beaucoup  J-P jvais essayer de comprendre au repos ce que tu
m'as écrit .

est ce que qqn pourrait m'aider pour les questions 3 et 4 svp??

merci encore

je n'ai pas biencompris pourquoi tu mets O(o;o) et A(X;Y) cela
veut dire qu'il y a deux origines??c'est impossible non?

oui,

ce n'est pas possible qu'il y ait deux origines. A est simplemnt
un point de coordonnées (X,Y) parce qu'on ne les connait pas,
l'origine c'est bien O.

Je confirme la précision apportée par bigoudi.

Je continue l'exercice.

3)
a)

CU = OU comme cotés d'un même carré BOUC.
OU = NG comme cotés opposés du parallélogramme GNOU
-> CU = NG   (1)

UG = ON comme cotés opposés du parallélogramme GNOU
ON = PN comme cotés d'un même carré PAON.
-> UG = PN   (2)

OU // NG comme cotés opposés du parallélogramme GNOU
CU perpendiculaire à OU (car BOUC est un carré)
-> CU et NG sont perpendiculaires. (3)

UG // ON comme cotés opposés du parallélogramme GNOU
ON perpendiculaire à PN (car PAON est un carré)
-> UG et PN sont perpendiculaires.  (4)

(3) et (4) -> angle(CUG) = angle(GNP)   (5)   car ces angles ont leurs
cotés perpendiculaires 2 à 2.

(1), (2) et (5) -> les triangles GUC et GNP sont isométriques.
-> PG = CG et le triangle CGP est isocèle en G  (6)
---
b)
On a montré que les triangles GUC et GNP sont isométriques. -> angle(UCG)
= angle(PGN)
On a montré aussi que  CU et NG sont perpendiculaires. (3)
-> les autres cotés des ces angles sont perpendiculaires entre-eux.

et donc CG est perpendiculaire à PG -> l'angle(PGC) est droit
Le triangle CGP est donc rectangle en G  (7)
---
(6) et (7) -> triangle CGP est isocèle rectangle en G.
--------------------
4)
a)
Par la rotation de Pi/2 de centre O, N vient en A (puisque PAON est un
carré).
Par la rotation de Pi/2 de centre O, B vient en U (puisque BOUC est un
carré).
-> (NB) est la transformée en (AU) par la rotation de Pi/2 de centre
O.
et donc NB = AU   (1)

b)
BC // et égal à NG  -> BNGC est un parallélogramme et CG est // et égal
à NB  (2)
AP // et égal à UG  -> APGN est un parallélogramme et AU est // et égal
à PG   (3)

(1), (2) et (3) -> PG = CG et le triangle CGP est isocèle en G.  (4)

Comme (NB) est la transformée en (AU) par la rotation de Pi/2 de centre
O, NB est perpendiculaire à AU.
et avec (2) et (3) -> CG et PG sont perpendiculaires.
-> PG = CG et le triangle CGP est rectangle en G.  (5)
(4) et (5) -> triangle CGP est isocèle rectangle en G.
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Sauf distraction

merci beaucoup mais par contre dans le 2 on doit utiliser lé produits
scalaires et on utilise un peu les complexes c'est normal?
merci encore

bonsoir , j'ai essayé de le faire tte seule mais je ne comprends
pas la méthode avec les complexes , il est demandé dans la question
1 de calculer u,n,p,c,g en fonction de a et b alors que J-P note
directement dans les hypothèses les affixes u et c des points U et
C alors qu'il faut les calculer en fonction de a et b non? et
pourquoi l'affixe du point a est X+iY ? merci de me répondre
car je ne comprends pas trop...

J-P note directement dans les hypothèses les affixes u et c des points
U et C alors qu'il faut les calculer en fonction de a et b non
?
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Fais un dessin et cela te sautera aux yeux. (Il est IMPERATIF de faire
le dessin).

Avec le système d'axes choisi, on a

zo = 0
zb = -1

et comme BOUC est un carré; les coordonnées de C et U sont déterminées
et immédiates à trouver.

zc = -1 - i
zu = -i
-----

merci beaucoup j'ai fais le dessin et j'ai compris par
contre je n'ai pas bien compris les coordonnées de l'affixe
de A . bigoudi dit qu'on ne connait pas ce point mais pourquoi
prend on X+iY?

svp c important que je sache...
merci