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Complexes

Posté par
Metaa 02-11-18 à 09:22

Bonjour,

je suis bloqué sur deux questions d'un exercice. L'objectif est de résoudre l'équation \large (\frac{1+iz}{1-iz})^n=\frac{1+itan(a)}{1-itan(a)} (n entier naturel non nul et a un réel de ]0,\frac{\pi }{2}[


Dans un premier temps, j'ai déterminé la forme exponentielle de \large \frac{1+itan(a)}{1-itan(a)} et les solutions de l'équation Z^n=e^{2ia}

Dès lors, je suis bloqué sur la démonstration de l'expression suivante : \large \frac{e^{i\theta}-1}{i(e^{i\theta}+1)}=tan\frac{\theta}{2}

Faut-il que je commence par donner la forme exponentielle de tan\frac{\theta }{2} et montrer que la différence est nulle ?

Enfin, pour la dernière question, je dois résoudre l'équation de départ en donnant les solutions avec la fonction tangente. En fait, je ne comprends pas en quoi l'égalité à la question 3 peut nous aider à répondre.

Je vous remercie d'avance pour vos indications.

Posté par
carpediemre : Complexes 02-11-18 à 09:25

salut

tu nous parles de question 3/ ... et je ne vois nulle part une question 3/ ...

au lieu de nous raconter ta vie (une histoire) donne nous l'énoncé exact et complet au mot près et ensuite raconte nous ta vie ...

Posté par
carpediemre : Complexes 02-11-18 à 09:28

multiplie numérateur et dénominateur de  -i \dfrac {e^{it} - 1} {e^{it} + 1}  par exp (-it/2)  ...

Posté par
luzakre : Complexes 02-11-18 à 09:34

Bonjour !
Ton "expression suivante" est le classique \dfrac{e^{i\theta}-1}{i(e^{i\theta}+1)}=\dfrac{e^{i\theta/2}-e^{-i\theta/2}}{i(e^{i\theta/2}-e^{-i\theta/2})}=\dfrac{2\sin\frac{\theta}2}{2\cos\frac{\theta}2}

Posté par
carpediemre : Complexes 02-11-18 à 09:42

Posté par
larrechre : Complexes 02-11-18 à 09:49

Bonjour,

Citation :
En fait, je ne comprends pas en quoi l'égalité à la question 3 peut nous aider à répondre.


Peut être en résolvant l'équation en z,   Z=\dfrac{1+iz}{1-iz}

Posté par
Metaare : Complexes 02-11-18 à 17:21

Merci beaucoup !

larrech > Je ne comprends toujours pas ... Faut-il que je cherche à remplacer \large (\frac{1+iz}{1-iz})^n avec une des expressions trouvées à la question précédente ?

Posté par
larrechre : Complexes 02-11-18 à 17:39

Sauf erreur de calcul, on trouve que

z=\dfrac{Z-1}{i(Z+1)}

Par ailleurs Z est unimodulaire.

Je me suis dit que ça pouvait avoir un rapport..

Posté par
Metaare : Complexes 02-11-18 à 18:05

Oui, le calcul est bon. Comme Z est unimodulaire, on peut le remplacer par e^{i\theta} ? Et ainsi il nous resterait à résoudre \large (tan\frac{\theta }{2})^n=\frac{1+itan(a)}{1-itan(a)} ?

Posté par
larrechre : Complexes 02-11-18 à 18:13

Oui, mais Z a déjà été calculé en fonction de a et de n

Posté par
luzakre : Complexes 02-11-18 à 18:13

Tu as trois étapes :
1. Forme trigonométrique pour \dfrac{1+i\,\tan\theta}{1-i\,\tan\theta}
2. Résoudre Z^n=\dfrac{1+i\,\tan\theta}{1-i\,\tan\theta}
3. Pour chaque valeur Z précédente, résoudre \dfrac{1-iz}{1+iz}=Z


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