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Niveau Maths sup
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Complexes début sup

Posté par
lomodogos 23-09-18 à 18:00

Bonjour, j'ai du mal avec une question d'un TD.
On sait que f(z) = (iz+1+2i)/(z-i), que a et b sont les solutions de f(z)=z avec Re(a)<Re(b) et l'on détermine que a=-b
Montrer que si z différent de i et b, (a-f(z))/(b-f(z)) = -(a-z)/(b-z)

J'ai réussi a aller jusqu'à -((z-a)(a+i))/((z-b)(a-i)) mais je ne sais pas comment aller plus loin...
Merci d'avance pour l'aide, lomodogos.

Posté par
luzakre : Complexes début sup 23-09-18 à 18:16

Bonsoir !
Fais un calcul plus formel avec f(z)=\dfrac{pz+q}{rz+s} (tu remplaceras à la fin p,q,r,s à l'aide des i,1+2i etc...)
Et tiens compte de ce que f(a)=a.
Je commence :
f(z)-a=f(z)-f(a)=\dfrac{pz+q}{rz+s}-\dfrac{pa+q}{ra+s}=\dfrac{(ps-qr)(z-a)}{(rz+s)(ra+s)}

A toi d'en déduire \dfrac{f(z)-f(a)}{z-a} puis, de même  \dfrac{f(z)-f(b)}{z-b}

Après simplification tu trouveras \dfrac{f(z)-f(a)}{f(z)-f(b)}=K\dfrac{z-a}{z-b},\;K étant un terme qui ne contient plus z.

Posté par
carpediemre : Complexes début sup 23-09-18 à 19:04

salut

iz + 1 + 2i = i(z - i + 2)

f(z) = \dfrac {iz + 1 + 2i} {z - i} = i + 2i \dfrac 1 {z - i}

f(a) = a => f(z) - a = f(z) - f(a) = 2i \left( \dfrac 1 {z - i} - \dfrac 1 {a - i} \right)

et on réduit ... sans développer !!!

et idem avec f(z)- b = f(z) - f(b) = ...

le quotient est alors trivial ...

c'est quasiment du calcul mental ... certainement même ...

Posté par
lomodogosre : Complexes début sup 23-09-18 à 19:06

Merci pour la réponse, mais malgré ça, je me retrouve toujours avec K=\frac{b-i}{a-i}

Posté par
carpediemre : Complexes début sup 23-09-18 à 19:17

il parait que b = -a ... mais en est-on sur ?

Posté par
lomodogosre : Complexes début sup 23-09-18 à 19:37

Ah, merci de pointer l'erreur, j'avais en effet fait une faute de frappe qui m'a complètement changé a et b, le problème est dorénavant résolu, le (b-i)/(a-i) que j'avais trouvé précédemment ayant maintenant un sens.
Merci beaucoup!

Posté par
carpediemre : Complexes début sup 23-09-18 à 20:11

et quelle était l'erreur ?

Posté par
lomodogosre : Complexes début sup 23-09-18 à 21:26

J'ai cherché les racines de (z-i)² = 2+2i et non (z-i)²=2i

Posté par
carpediemre : Complexes début sup 23-09-18 à 22:03

Posté par
lomodogosGéométrie complexe 23-09-18 à 22:51

Bonjour, j'ai du mal avec une question d'un TD.
On sait que f(z) = (iz+1+2i)/(z-i), que a et b sont les solutions de f(z)=z  et que (a-f(z))/(b-f(z)) = -(a-z)/(b-z)
On considère les points A,B et C d'affixe respective a,b et i. Ils sont alignés.
Soient les points M et M' d'affixe respective z et f(z), montrer que l'angle entre les vecteurs M'A et M'B sont congrus modulo pi a l'angle entre les vecteurs MA et MB
Mon problème est que je n'arrive pas du tout a trouver d'expression des angles.
Merci d'avance pour l'aide, lomodogos.

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