Niveau Reprise d'études-Ter

Complexes et géométrie

Posté par
Twister191812 23-02-18 à 10:15

Bonjour à tous,

J'aurai besoin d'aide pour résoudre un problème.
Je dois faire un DM et je souhaite réussir et comprendre ce que je fais.

Je vous donne l'énoncé et j'explique ma démarche par la suite.

Enoncé:
Dans le plan complexe, on donne le carré de centre O, de côtés de longueur 4, parallèles aux axes.
Tout point M de ce carré est l'image d'un nombre complexe z.
Lorsque M parcourt le carré tout entier, quelle figure dessinent les points images de z²? et celle des points images de 1/z?

Après avoir potassé mon cours, je pense que le point image de z² est le module de z.
Etant donné que j'ai un carré de centre O et de longueur 4, je pense que mon angle Téta est de 45°
donc mon angle Téta =45° et mon Ro=2 puisque j'ai un carré?
J'ai donc mon premier point?
Est ce que j'ai 4z différents et donc 4 1/z différents à trouver?

Pourriez vous me dire si je suis dans la bonne logique?
Avez un cours support à me donner pour que je comprenne mieux le but de cet exercice?

Merci d'avance de votre aide.

Posté par re : Complexes et géométrie 23-02-18 à 10:30

Bonjour,

Citation :
je pense que le point image de z² est le module de z

Ceci n'a pas de sens.
Un point image est un point ; un module est un réel positif ou nul.
Je conseille de commencer par calculer quelques points images, par exemple les images de A(2) , E(2(1+i)) ...
Donner des noms aux sommets du carré : EFGH . Et aussi aux milieux des côtés : ABCD.

Posté par re : Complexes et géométrie 24-02-18 à 07:51

Bonjour,
Merci pour vos réponses à mon problème.
Je vais poser la démarche que j'ai effectué avant de lire vos commentaires.

Soit A,B,C,D les points images de z
Donc A (a1,b1) B (a2,b2) C (a3,b3) D( a4,b4)
Le carré étant de centre O et de côtés de longueur 4, on en déduit que les coordonnées des points seront pour x et y soit 2 et -2.
Donc A (2,2) B( 2,-2) C (-2,-2) D (-2,2)
Ro=Racine(a²+b²)
Ro=Racine(4+4)
Ro=2Racine2=Racine8
Za=2+2i
Zb=2-2i
Zc=2-2i
Zd=-2+2i
z=Ro*(cosTéta+isinTéta)
CosTéta=a/Ro
SinTéta=b/Ro
cosTéta A=2/(2Racine2)=1/(Racine2)
sinTéta A=2/(Racine2)=1/(Racine2)
Téta A=PI/4
Za=(2Racine2 ; PI/4)
Meme demarche pour Zb, Zc et Zd
Résultats:
Zb=(2Racine2 ; -PI/4)
Zc=(2Racine2 ; -3PI/4)
Zd=(2Racine2 ; 3PI/4)

Za²=(2+2i)²=(2+2i)(2+2i)=4+4i+4i-4
=8i

Zb²=(2-2i)²=(2-2i)(2-2i)=4-4i-4i-4
=-8i

Zc²=(-2-2i)²=4-4+8i
=8i

Zd²=(-2+2i)²=4-4-8i
=-8i
On voit que Za²=Zc² et que Zb²=Zd²
Nous avons donc 2 solutions à Z² qui sont opposés et purement imaginaire.
Je trouve donc une droite.

Pourriez vous me dire si ma démarche est bonne?
Pourquoi me dites vous de placer les milieux de mes côtés du carré?

Posté par re : Complexes et géométrie 24-02-18 à 09:32

D'accord pour les affixes des sommets du carré.
Pourquoi s'embêter à écrire ces affixes sous forme trigonométrique ?
Le calcul de leurs carrés suffit.

Maintenant, voici comment je comprends "Lorsque M parcourt le carré tout entier" :
Lorsque M se promène sur les 4 segments qui sont les côtés du carré.
Les images de ces segments ne sont pas des segments.
Pour s'en convaincre, calculer les images des milieux.