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Niveau Maths sup
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Complexes et racines nièces

Posté par
titouan35 30-10-19 à 11:31

Bonjour à tous et à toutes,

Je rencontre une difficulté concernant la résolution d'une équations dans C :
Z^{6}+Z^{3}+1+i=0

Je ne sais pas comment parvenir à la solution...

Pouvez-vous m'aider ?

En vous remerciant par avance,

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 11:34

bonjour

pose W=Z3 et cherche déjà W

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 11:49

Bonjour,

Merci de votre réponse, voici donc ce que j'ai fais :
On pose : W=Z^3 tq W=\varphi e^{i\theta } et Z=re^i\theta '

Donc on a :

\varphi e^{i\theta } = r^3e^3i\theta '

Z_{k}=\varphi ^{1/3}e^{i\frac{\theta }{3}+\frac{2kpi}{3}} k\in 0,2

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 11:52



tu peux pas faire le changement de variable dans ton équation et la résoudre en W ???

qu'est ce que c'est que ce travail ?

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 12:01

Excusez-moi
Voici donc l'équation :

W^2+W=-1-i

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 12:02

tu es bien en mathématiques supérieures ?

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 12:28

Oui, en effet. Excusez-moi, je reprends :
W^2+W+1+i=0
\Delta =-4-4i\neq 0
W_{1}=\frac{-b+ \delta }{2a} W_{2}=\frac{-b - \delta }{2a}

\delta ^{2}=\Delta
\Leftrightarrow u^2 - v^2=-4 ; 2uv=-4;u^2+v^2=sqrt(32)
u=sqrt(-2+\frac{sqrt(32)}{2}) v=sqrt(2+\frac{sqrt(32)}{2})

Donc \delta =\sqrt{-2+\frac{\sqrt{32}}{2}}+i\sqrt{2+\frac{\sqrt{32}}{2}}

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 12:29

W_{1}=\frac{-b+\delta }{2a} W_{2}=\frac{-b-\delta }{2a}

Posté par
Ulmierere : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 12:43

Juste une chose : ne passe jamais à la racine nième sur des complexes !
C'est multivalué (sans entrer dans les détails, il y a beaucoup de logarithmes possibles sur C, mais aucun qui soit défini dans le plan tout entier, et donc pour avoir un "vrai" inverse de exp il faut faire des trucs plus compliqués (sphère de Riemann, etc)).
Pour l'instant c'est au dessus de ton niveau mais considère simplement qu'il t'es aussi interdit de prendre la racine d'un nombre négatif que celle d'un nombre complexe.
Par contre tu peux sans problème passer à la puissance nième (comme tu le fais d'ailleurs sans problème avec des réels négatifs)

Posté par
Ulmierere : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 12:44

Là tu as eu la présence d'esprit de remarque qu'il y a un terme exp(i.2k.pi) en plus, c'est bien ( mais faut pas le faire )

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 13:13

Merci pour votre réponse, mais alors quelle est la bonne méthode ?

Merci encore pour vos réponses

Posté par Profil amethystere : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 13:39

bonjour

pardon mais les racines carrés c'est fini  

leur usage est très limité et n'est plus valable pour ce genre de polynômes

az^2+bz+c\in \mathbb {C}\left[Z\right]

tout d'abord tu détermines le polynôme unitaire qui possède les mêmes racines que celui-là

ensuite tu détermine un polynôme P:=w^2-d\in \mathbb {C}\left[W\right]

par translation z_i=w_i+t

enfin tu termines par trouver les racines de w^2-d

et ces racines là tu le sais sont les racines 2 ièmes de d

et on n'utilise pas des racines carrées pour les calculer

enfin les racines recherchées sont z_i=w_i+t

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 14:39

titouan35 @ 30-10-2019 à 13:13

Merci pour votre réponse, mais alors quelle est la bonne méthode ?


déjà savoir calculer un discriminant correctement

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 14:55

matheuxmatou @ 30-10-2019 à 14:39

titouan35 @ 30-10-2019 à 13:13

Merci pour votre réponse, mais alors quelle est la bonne méthode ?


déjà savoir calculer un discriminant correctement


D'autres bons conseils comme celui-ci ?

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 14:55

Ulmiere
je ne vois pas où il utilise un symbole de racine sur autre chose qu'un réel positif ...

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 14:56

titouan35

non, pour l'instant je maintiens : savoir calculer un discriminant correctement.... plutôt que de recopier et encombrer le fil, demande toi pourquoi je dis cela et remets toi en question

on en est à

W² + W + (1+i) = 0

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:03

donc

= ????

Posté par
Ulmierere : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:05

matheuxmatou @ 30-10-2019 à 14:55

Ulmiere
je ne vois pas où il utilise un symbole de racine sur autre chose qu'un réel positif ...


à 11h49. Il a bien pensé à garder le terme en exp(2i.k.pi/3), mais il ne faut pas faire ça en sup car il risque de faire des erreurs, comme penser que log(zz') = log(z)+log(z'), ou aller chercher des logarithmes d'entiers négatifs pour la détermination principale du logarithme

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:08

Ulmiere
je ne comprends rien...
l'écriture de ses racines 3ième est correct, sauf qu'il a oublié la valeur k=1, que les exposants sont mal écrits et que ce n'est absolument pas rédigé
elles sont sous forme trigo et je ne vois aucun log là-dedans...

ne compliquons pas !

de toutes façons son message était prématuré... on verra quand il travaillera avec les valeurs obtenues pour W

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:13

Autant pour moi, j'ai été trop vite :
On a donc \Delta =-3-4i

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:14

ben voilà

bon ben cherche une racine carrée de ce machin là maintenant

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:15

\delta ^2 = \Delta ou petit delta = a+ib
a^2 -b^2 =-3 ; 2ab=-4 ; a^2+b^2=5

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:17

bon ben allez, on avance....

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:22

Donc j'ai b=\frac{-4}{2a}=\frac{-2}{a}
b^2=\frac{4}{a^2}

Du coup, j'ai :
a^2-\frac{4}{a^2}=-3
a^4+3a^2-4=0
on pose A=a^2
A^2+3A-4=0

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:25

quel cirque !

a² - b² = -3
a² + b² = 5

tu peux pas ajouter et soustraire ces deux équations ?

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:30

a=1 ou -1 et b=2 ou -2

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:33

il y a aussi une troisième équation

bon alors tu me donnes UNE racine carrée du discriminant ?

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:36

\delta =1-2i est une racine carrée du discriminant

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:39

bon alors ensuite ?

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:45

Donc W=i ; -i

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:46

Je vous remercie je pense avoir trouvé, je poste les réponses trouvées

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:54

faux pour les valeurs de W

va vraiment falloir que tu apprennes à calculer si tu veux suivre en math sup !

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 15:56

Donc on avait : W=Z^3
Donc : i=Z^3 ou -i=Z^3

Z_{k}=e^{i(\frac{pi}{6}+\frac{2kpi}{3})} k\in (0;2)
Z_{k}=e^{i(\frac{-pi}{6}+\frac{2kpi}{3})} k\in (0;2)

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 16:07

tu lis mes messages ?

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 16:07

Oups, je ne sais plus quel calcul j'ai fais :/
Je trouve donc W = -1+i et W=-i

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 16:07

oui

Posté par
titouan35re : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 16:24

Merci de votre aide !
J'ai donc trouvé :
Z_{k}=e^{i(\frac{-pi}{6}+\frac{2kpi}{3})} k\in (0;2)
Z_{k}=2^{\frac{1}{6}}e^{i(\frac{pi}{12}+\frac{2kpi}{3})} k\in (0;2)

Posté par
matheuxmatoure : Complexes et racines nièces 30-10-19 à 16:28

titouan35 @ 30-10-2019 à 16:24

Merci de votre aide !
J'ai donc trouvé :
Z_{k}=e^{i(\dfrac{-pi}{6}+\dfrac{2kpi}{3})} \quad k\in \{0;1;2\}
Z_{k}=2^{\dfrac{1}{6}}e^{i(\dfrac{pi}{12}+\dfrac{2kpi}{3})} \quad k\in \{0;1;2\}


valeurs de k incomplètes

plus lisible avec des \dfrac plutôt que des \frac dans LaTeX

deuxième série de valeurs fausse


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