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Complexes et Récurrence ?

Posté par
gui_tou 18-09-07 à 21:55

Bonsoir à tous

Une fois n'est pas coutume j'ai besoin de vous.

L'exercie est assez brut, formé d'une seule affirmation (deux pour les chipoteurs )


Citation :
Soient n et p deux entiers naturels.

Montrer que : 4$\Big[\,\exists z \in\mathbb{C}\,,\, z^n=(1+z)^p=1\,\Big]\,\Longleftrightarrow\, \Big[n\textrm{ est multiple de 3 et }p\;\textrm{est multiple de 6}\,\Big]


Je pensais m'y prendre à l'aide d'une récurrence, portant et sur n, et sur p.

En montrant donc que P_{\{n+1;p+1\}} est vraie.. Bref je ne pense pas maîtriser.

Si vous aviez des pistes de réflexion, quelles qu'elles soient, ça m'intéresserait

Merci et Bonne Soirée

Posté par
perroquetre : Complexes et Récurrence ? 18-09-07 à 22:08

Bonjour, gui_tou.

L'égalité   z^n=(1+z)^p= 1   entraîne    |z|=|1+z|=1
(intersection du cercle de centre 0 et de rayon 1 avec le cercle de centre -1 et de rayon 1)
Donc   z=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}
Je te laisse continuer.

Posté par
raymond CorrecteurComplexes et Récurrence ? 18-09-07 à 22:18

Bonsoir.

1°) 3$\textrm z^n = 1 \Longleftrightarrow \ z = exp(2ik\pi/n)

2°) 3$\textrm (1+z)^p = 1 \Longleftrightarrow \ z = exp(2i.l\pi/p) - 1 = 2isin(l\pi/p).exp(i.l\pi/p)

En exprimant que ces deux ensembles de solutions ont un z en commun :

3$\textrm exp(2ik\pi/n) = 2isin(l\pi/p).exp(i.l\pi/p)

Par le module, cela donne :

3$\textrm sin(l\pi/p) = 1/2 ou - 1/2

Avec cela, on trouve à peu près que :

3$\textrm l = p/6 + 2N comme l est un entier ...

Pour trouver n, je pense qu'il faut remplacer p par 6.q.

A plus RR.

Posté par
gui_toure : Complexes et Récurrence ? 18-09-07 à 22:28

Bonjour Perroquet

Tu t'es donc servi de l'égalité des modules ok

Peut-être qu'ensuite, je dois utiliser la formule de Moivre, non ?

z vérifie

4$z=e^{i\frac{2\pi}{3}} donc 4$z^n=e^{i\frac{2n\pi}{3}}

4$(1+z)=1+e^{i\frac{2\pi}{3}}=2\cos(\frac{\pi}{3}).e^{i\frac{\pi}{3}}
donc
4$(1+z)^p=2^p\cos^p(\frac{\pi}{3}).e^{i\frac{p\pi}{3}}

Finalement n et p doivent vérifier
5$\magenta e^{i\frac{2n\pi}{3}}=2^p\cos^p(\frac{\pi}{3}).e^{i\frac{p\pi}{3}}=1

Et là en utilisant les égalités des parties imaginaires et réelles c'est gagné  non ?

Une petite question : en ayant pris z=0 et n=0, on est amené à "imaginer" le cas 0^0 ce qui est impossible, non ?

En tout cas si ce que j'ai conjecturé est vrai, un grand merci Perroquet

Posté par
gui_toure : Complexes et Récurrence ? 18-09-07 à 22:30

Ah Bonsoir Raymond

Je n'avais pas rafraichi la page.

Ce que j'ai fait ne m'a pas l'air trop faux

Merci à vous deux, Perroquet et Raymond


Posté par
raymond Correcteurre : Complexes et Récurrence ? 18-09-07 à 22:33

Bonsoir gui_tou et Perroquet.

A plus RR.

Posté par
Dremire : Complexes et Récurrence ? 18-09-07 à 22:41

n,p doivent être non nuls: regarde ce qu'il se passe avec n=1 et p=0...

Posté par
gui_toure : Complexes et Récurrence ? 18-09-07 à 22:46

Bonsoir Dremi

On ne pourrait pas inventé une géométrie où 0=1 ?

Oui et puis de toute façon ce n'est pas 'quel que soit z' mais 'il existe'.

Posté par
gui_toure : Complexes et Récurrence ? 18-09-07 à 22:47

inventer

Posté par
Dremire : Complexes et Récurrence ? 18-09-07 à 22:51

Gui-tou, quelques petites erreurs z=e^{\pm i2\pi/3}; pour conclure, il ne faut pas revenir aux parties réelles et imaginaires mais voir que ton expression en rose (juste même avec la correction ci-dessus) est équivalente à (2n\pi/3\in 2\pi\mathbb{Z} et p\pi/3\in 2\pi\mathbb{Z}), équivaut à (n\in 3\mathbb{Z} et p\in 6\mathbb{Z}).

Posté par
gui_toure : Complexes et Récurrence ? 18-09-07 à 23:09

Oui j'avais zappé le -\frac{2i\pi}{3}

J'ai bien compris la démarche cette fois, Dremi.

Le 4$ 2^p\cos^p(\frac{\pi}{3}) disparaît car égal à 1.

Bien vu tout ça


Merci à tous, vraiment.

Bonne soirée


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