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Niveau terminale
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Complexes et suites.

Posté par
matheux14 21-03-21 à 20:39

Bonjour,

Merci d'avance.

On considère la suite de nombres complexes définie par : z_{0}=0 , z_{1}=i et \forall ~ n \ge 2 ,

z_{n}-z_{n-1}=i(z_{n-1}-z_{n-2}).

1) Exprimer z_{n}-z_{n-1} en fonction de n.

2) Démontrer que : \forall ~ n \ge 0 , z_{n}=\dfrac{1-i}{2}(i^n}-1)


Réponses

1) On a : z_{n}-z_{n-1}=i(z_{n-1}-z_{n-2})

=iz_{n-1}-iz_{n-2}

z_{n}-z_{n-1} est une suite numérique mais je ne parviens pas à distinguer si elle est géométrique ou arithmétique.

Posté par
Yzzre : Complexes et suites. 21-03-21 à 20:44

Salut,

En posant u_{n} = z_{n}-z_{n-1} , comment traduis-tu z_{n}-z_{n-1}=i(z_{n-1}-z_{n-2}) ?

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 21-03-21 à 20:49

u_{n}=i(z_{n-1}-z_{n-2})

Posté par
Yzzre : Complexes et suites. 21-03-21 à 20:52

Oui certes, mais z_{n-1}-z_{n-2} = ???

Posté par
Yzzre : Complexes et suites. 21-03-21 à 20:53

En d'autres termes, si z_{n}-z_{n-1} = u_{n}   ,  alors z_{n-1}-z_{n-2} = ???

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 21-03-21 à 20:56

z_{n-1}-z_{n-2} = u_{n-1}

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 21-03-21 à 21:54



On a donc u_n=iu_{n-1}

Posté par
Yzzre : Complexes et suites. 22-03-21 à 07:01

Oui : tu peux donc en déduire la nature de la suite (un)

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 22-03-21 à 07:03

(un) est une suite géométrique.

Posté par
Yzzre : Complexes et suites. 22-03-21 à 08:03

Oui, tu peux donc finir ton exo, non ?

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 27-03-21 à 12:46

Non , ensuite je fais comment ?

Posté par
malou Webmasterre : Complexes et suites. 27-03-21 à 13:01

Bonjour
en l?absence de Yzz qui reprend la main dès qu'il est là

ben fais comme tu faisais en 1re avec les suites géométriques !
voir ici : Tout ce qui concerne les suites géométriques

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 27-03-21 à 16:26

z_{n}-z_{n-1}=i^{n+1}

Posté par
malou Webmasterre : Complexes et suites. 27-03-21 à 16:32

tu es sûr de ton exposant ? et de toutes façons, écris la démonstration ....qui t'a amené là

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 27-03-21 à 20:33

Posons un=zn-zn-1.

Alors un-1=zn-1-zn-2.

zn-zn-1=i (zn-1-zn-2)

==> \dfrac{z_{n}-z_{n-1}}{z_{n-1}-z_{n-2}}=i

==> \dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}=i

C'est à dire (un) est une suite géométrique de raison i.

Du coup un=qnu1 avec u1 le premier terme de (un)n ∈ IN.

u1= z1-z0= i.

un=in×i

un=in+1

Petit soucis avec mon clavier..

Posté par
carpediemre : Complexes et suites. 27-03-21 à 21:43

matheux14 @ 27-03-2021 à 20:33


Du coup un=qnu1 avec u1 le premier terme de (un)n ∈ IN.
faux ...

et qeul est l'intérêt de passer par un quotient ? ne peut-il pas y avoir un problème ?

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 27-03-21 à 22:12

Je ne vois pas vraiment de problème là ..

Posté par
carpediemre : Complexes et suites. 27-03-21 à 22:20

et bien écris u_1, u_2, u_3, ... et regarde ...

une division ne te gène pas ?

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 28-03-21 à 09:08

Effectivement

Comment est-ce que je devrais faire dans ce cas ?

Posté par
malou Webmasterre : Complexes et suites. 28-03-21 à 09:50

ou bien tu lis la fiche (à quoi ça sert que je te la mette sous le nez ? ) ou bien tu réfléchis, ...mais en aucun cas on ne fait des quotients dans ce genre de démonstration (en cours ça se démontre par une minuscule récurrence)
ce sont des résultats de 1re ça ...matheux14

Posté par
malou Webmasterre : Complexes et suites. 28-03-21 à 10:48

à savoir sans aucune hésitation

pour une suite géométrique de raison q

u_n=u_p\times q ^{\text{différence des indices}}

donc ici ce serait n-p

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 28-03-21 à 13:06

Un tas de trucs avec des résultats différents..

Finalement je ne sais pas quel est le bon résultat..

Je fais comment pour vérifier ?

Posté par
malou Webmasterre : Complexes et suites. 28-03-21 à 13:09

non, je ne suis pas d'accord


quand tu as u_n=u_p\times q ^{\text{différence des indices}}

tu peux en déduire u_n=u_0\times q ^{n-0}
ou bien
u_n=u_1\times q ^{n-1}
ou bien
u_{n+1}=u_0\times q ^{n+1}
ou bien
u_n=u_5\times q ^{n-5}
etc etc...
une seule formule suffit pour traiter tous les cas

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 28-03-21 à 13:45

un=qn-1u1 avec u1 le premier terme de (un)n ∈ IN.

u1= z1-z0= i.

un=in-1×i

un=in-1+1

un=in

Posté par
malou Webmasterre : Complexes et suites. 28-03-21 à 14:38

oui, cette fois c'est juste
et tu peux répondre à la question 1

z_{n}-z_{n-1}=\dots

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 28-03-21 à 14:51

zn-zn-1=un=iⁿ

Posté par
malou Webmasterre : Complexes et suites. 28-03-21 à 15:50

oui, voilà

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 28-03-21 à 18:13

2) J'ai essayé par récurrence mais je bloque à un certain niveau..

Posté par
malou Webmasterre : Complexes et suites. 28-03-21 à 18:20

on vient de te faire démontrer que
z_{n}-z_{n-1}=i^n
écris ça pour n=1
en dessous pour n=2
en dessous pour n=3
.....
en dessous pour n
et tu sommes tes égalités

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 28-03-21 à 19:02

z1-z0=i

z2-z1=i²

z3- z2=i³
.    
.
.
zn- zn-1=iⁿ
_______________________________________________________________
-z0+z3+ ...-zn-2+zn=i +i²+i³+...+iⁿ

Posté par
malou Webmasterre : Complexes et suites. 28-03-21 à 19:08

ouvre les yeux matheux14 !
tu ne vois pas que plein de choses se simplifie dans le membre de gauche
il ne va pas rester grand chose !

et tu écriras le membre de droite sous une autre forme ensuite

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 28-03-21 à 20:08

Pour le membre de gauche :

-z0+z3+ ...-zn-2+zn=-z0+zn=zn

Pour le membre de droite :

i+i²+i³+...+i^{n}=\dfrac{1-i^{n-1+1}}{1-i}=\dfrac{1-i^{n}}{1-i}

Mais \dfrac{1-i^{n}}{1-i} \neq \dfrac{1-i}{2}(i^n}-1)

Y a un problème..

Posté par
malou Webmasterre : Complexes et suites. 28-03-21 à 20:34

quelle formule utilises-tu pour calculer la somme? rien oublié ?

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 28-03-21 à 21:01

i¹+i²+i³+...+i^{n}=\dfrac{1-i^{n+1}}{1-i}

Posté par
Yzzre : Complexes et suites. 28-03-21 à 21:40

Il manque encore un truc... revois la formule !

Et salut malou  

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 28-03-21 à 22:00

Oui.

i¹+i²+i³+...+i^{n}={\red{i}}\dfrac{1-i^{n+1}}{1-i}

On pourrait montrer que le lieu géométrique des points d'affixe zn est un cercle (C) de centre O et de rayon R.

Comment trouver l'équation de ce cercle (C) , son rayon et les coordonnées de son centre O ?

Posté par
carpediemre : Complexes et suites. 28-03-21 à 22:36

il serait peut-être bien d'obtenir le résultat demandé dans la question ...

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 28-03-21 à 22:38

Malheureusement je ne connais pas ce résultat et aimerais bien le retrouver.

Posté par
malou Webmasterre : Complexes et suites. 29-03-21 à 09:20

Bonjour à tous
il est urgent de connaître tes formules concernant les suites numériques

pour une raison q 1
\text{Somme}=\text{ 1er terme }\times \dfrac{1-q^{\text{ nb de termes}}}{1-q}

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 29-03-21 à 20:43

Citation :
On pourrait montrer que le lieu géométrique des points d'affixe zn est un cercle (C) de centre O et de rayon R.

Comment trouver l'équation de ce cercle (C) , son rayon et les coordonnées de son centre O ?


Pourriez vous m'aider s'il vous plaît.

Posté par
PLSVUre : Complexes et suites. 29-03-21 à 22:32

Bonsoir  à tous ,


{\red{i}}\dfrac{1-i^{n+1}}{1-i}

Quel calcul  faut- il faire pour obtenir un réel comme dénominateur à la place d'un nombre complexe ?

pour le cercle  détermine l 'affixe  de quelques  z...

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 29-03-21 à 22:43

Multiplier par le conjugué 1-i au numérateur et au dénominateur.

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 29-03-21 à 22:45

Ok z1= -1+i

z2= -1

...

Et ensuite ?

Posté par
PLSVUre : Complexes et suites. 29-03-21 à 23:55

Multiplier par le conjugué 1-i au numérateur et au dénominateur. OK fais le pour  finir la question 2

z0=0  z1= i   ( ces deux là sont donnés dans l'énoncé)

Citation :
Ok z1= -1+i
z2= -1


corrige et continue pour pouvoir   conclure sur le  cercle : son centre et son rayon

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 30-03-21 à 00:14

Oui je l'ai fait hier.

z0= 0

z1= i

z2= -1+i

z3= -1

z4=0

Mais je n'arrive pas à conclure.

Posté par
PLSVUre : Complexes et suites. 30-03-21 à 09:39

tu ne remarques pas que z0=z4
poursuis...
place les points ....conjecture et démontre
  

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 30-03-21 à 12:50

On remarque que z0= z4=z8=z12= z16...

On en déduit que  zn décrit un cercle.

Après avoir placé z0 , z1 et z2 ; affixes des points M0 , M1 et M2 ;

Je trace la médiatrice (∆) de [M0 M1] et la médiatrice (D) de [M0 M2] .

Le  centre du cercle (C) , O={\red{(\Delta)}} ~ \cap ~ {\green{(D)}}.

*(D) passe par les points M1 et je milieu K de [M0M2] : K(-1/2 ;1/2).

==> (D):y=x+1

* De même (∆):y=1/2

On résoud le système \begin{cases} y=\dfrac{1}{2} \\ y=x+1\end{cases}

x=-1/2 et y=1/2.

Donc O(-1/2 ;1/2).

Du coup (C) : (x+0,5)²+(y-0,5)²=0,5.

Merci

Posté par
PLSVUre : Complexes et suites. 30-03-21 à 13:40

On remarque que z0= z4=z8=z12= z16...
On en déduit que  zn décrit un cercle.  
car la donnée d'un point définit un cercle ?
Du coup (C) : (x+0,5)²+(y-0,5)²=0,5. ( equation cartésienne )
équation dans   est  plutôt attendue
tous les points de ce cercle   vérifient-ils  
[z_{n}=\dfrac{1-i}{2}(i^n}-1)

Posté par
matheux14re : Complexes et suites. 30-03-21 à 14:11

Comment est-ce que je devrais faire ?

Posté par
PLSVUre : Complexes et suites. 30-03-21 à 14:23

tu prends une feuile et un crayon et tu places les points
M0,M1,M2,M3M4M5M6M7
quelle conjecture peux-tu faire  et tu la démontre

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