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Complexes : Z app. à U

Posté par
croustiman27 24-10-20 à 12:08

Bonjour,
Je cale sur l'énoncé suivant :
Soit z\in U / \{-i \}.
On pose :

Z=\frac{z-\i}{z+\i}

Prouver que Z appartient à U

J'essaie de chercher en remplaçant z par e^i*theta, i par e^i*(pi/2), des factorisationspar l'angle moitié...  mais rien n'apparaît à mes yeux

Posté par
LeHiboure : Complexes : Z app. à U 24-10-20 à 12:10

Bonjour,

Quelle est la définition de U ?

C'est une question en passant, mais je ne reste pas et j'espère que quelqu'un prendra la suite...

Posté par
croustiman27re : Complexes : Z app. à U 24-10-20 à 12:13

L'ensemble des complexes dont le module vaut 1

Posté par
LeHiboure : Complexes : Z app. à U 24-10-20 à 12:22

Etrange, le remplacement de z par exp(i) et la factorisation en haut et en bas par exp(i/2) me donnent itan(/2) qui parcourt l'axe vertical, erreur de calcul de ta part et de la mienne, ou erreur d'énoncé ?

Posté par
LeHiboure : Complexes : Z app. à U 24-10-20 à 12:23

Je dois décrocher maintenant et je passe la main...

Posté par
XZ19re : Complexes : Z app. à U 24-10-20 à 12:36

Bonjour
C'est faux. C'est archi connu que l'image sera l'axe imaginaire.  

Posté par
croustiman27re : Complexes : Z app. à U 24-10-20 à 12:36

Merci tout de même

Posté par
croustiman27re : Complexes : Z app. à U 24-10-20 à 12:38

XZ19 @ 24-10-2020 à 12:36

Bonjour
C'est faux. C'est archi connu que l'image sera l'axe imaginaire.  


Je ne suis pas sûr d'avoir compris

Posté par
croustiman27re : Complexes : Z app. à U 24-10-20 à 13:02

On ne me demande pas de trouver les z qui verifient une égalité, mais de prouver l'appartenance de Z à l'unité sachant celle de z

Posté par
XZ19re : Complexes : Z app. à U 24-10-20 à 22:54

Bon je sais lire  il me semble,  Z=(z-)/(z+1) c'est bien ça.  !  

   Alors   Z  n'est pas sur U.    

Posté par
XZ19re : Complexes : Z app. à U 24-10-20 à 23:38

Et puis je n'avais pas vu le message de @Lehibou qui  signale déjà l'erreur.

Posté par
croustiman27re : Complexes : Z app. à U 25-10-20 à 09:20

Merci. Erreur d'énoncé donc

Posté par
carpediemre : Complexes : Z app. à U 25-10-20 à 09:55

salut

une lecture du code du msg initial, l'utilisation d'un dfrac et avec un i et non pas un \i permet de mieux voir et comprendre l'énoncé :

\forall z \in U - \{-i\}  :  Z = \dfrac {z - i}{z + i}

avec des 1 on pouvait d'ailleurs se demander pourquoi retirer -i ...

\bar Z = \dfrac {\bar z + i} {\bar z - i} = \dfrac {1 + iz} {1 - iz} = \dfrac {-i^2 + iz} {-i^2 - iz} = -Z

Z est donc imaginaire pur

donc Z \in U \iff Z = i $ ou $ Z = -i \iff z - i = iz - 1 $ ou $ z - i = -iz + 1 \iff ... qui ne donne évidemment pas tout U ...

ou utiliser aussi Z \in U \iff \bar Z = \dfrac 1 Z qui permet aussi de conclure ...

Posté par
croustiman27re : Complexes : Z app. à U 25-10-20 à 10:03

Merci!

Posté par
carpediemre : Complexes : Z app. à U 25-10-20 à 10:04

de rien


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