salut

la norme est la norme usuelle sur C

tu peux toujours poser x = a + ib et y = c + id et travailler dans R^4 = C^2 ...

qu'est-ce que le sous-espace {a + ib = (a, b) et c + id = (c, d) / a = c et b = d} ?


à voir ...

Bonsoir carpediem, merci de ta réponse. J'ai un peu de mal à voir ce que je peux faire avec le sous-espace vectoriel donné mais je vais continuer à creuser cette piste...

Bonjour
Tu désignes par f l'application linéaire de C^2  vers C définie par f(u)=x-y, où u=(x,y).
E est le complémentaire du noyau de f.

Soit maintenant g  une application continue de [0,1] dans C tel que g(0)=0 et g(1)=1.  

Alors  pour 2 éléments   u et v de  E tu considères w(t)= g(t) u + (1-g(t)) v.

f(w(t))=g(t) f(u)  +(1-g(t)) f(v). En sachant que  f(u) et f(v) sont non nuls, il est facile de trouver une condition supplémentaire pour que f(w(t)) soit toujours non nul et tu peux en tirer la conclusion.  

Si tu avais à trouver les composantes connexes du complémentaire de x=0 dans C^2?
Est ce que tu saurais le faire?
Pourquoi les deux questions sont équivalentes?

Bonsoir XZ19, merci pour cette solution élégante. J'avais réussi à prouver d'une autre manière que E était connexe mais je dois avouer que je prefère cette démonstration !
Bonne soirée à vous deux

Bonsoir mokassin, oui pas de souci, j'ai bien compris comment faire et le rapport avec l'exercice et tes questions, merci quand même !