Inscription / Connexion Nouveau Sujet
composantes connexes de Q
Bonjour,
voici une petit exercice pour lequel je suis dans la panade :
Le but est de montrer que les composantes connexes de sont les singletons et que ceux-ci ne sont pas ouverts dans
.
(1) Montrer que est d'intérieur vide.
(2) Montrer que les composantes connexes de sont les singletons.
(3) Montrer que les singletons de ne sont pas ouverts dans
.
______________________________________________________________________________________________
Voici comment j'ai procédé :
(1) On sait que : est dense dans
, ie :
.
De plus, on sait que : , d'où :
.
(2)Soit une composante connexe non-vide de
.
Alors est un connexe non-vide de
et donc un intervalle non-vide de
. Or si
n'était pas un singleton, on aurait que son intérieur serait non-vide. Mais puisque
et que
, on obtient que
, contradiction. Donc
est un singleton.
(3) Panne d'idée...
Bonjour.
(1) ok
(2) ok mais pour être complet tu peux préciser que les singletons sont connexes
(3) Il y a plein de façon de procéder. Suppose par exemple qu'un singleton {x} est ouvert dans Q. Cela signifie par définition qu'il existe un ouvert U de R tel que ...
Bonjour Williamm007,
C'est noté pour la question (2).
Pour la question (3), c'est d'accord : c'est la définition d'un ouvert pour la topologie induite sur par
et je suppose qu'on abouti à une contradiction grâce à la densité de
dans
. C'est bien ça ?
Alors excuse moi tu peux effectivement procéder comme cela et utiliser la densité de Q dans R. Et c'est bon à savoir faire, ce genre de raisonnement élémentaire. Mais je réalise que la question 3) se déduit de manière complètement évidente de la question 1).
Je ne suis pas sûre de voir comment on prouve cela à partir de la question (1)...
En ce qui concerne l'utilisation de la densité de dans
est-ce que ce qui suit conviendrait (j'ai un doute...) ?
Puisque est un ouvert de
contenant
, il existe un
de sorte que l'intervalle ouvert d'extrémités
et
soit strictement inclus dans
. Or, puisque
est dense dans
on a qu'il existe
qui soit également dans l'intervalle
et donc dans
. Ainsi, on aurait que
ce qui est absurde...
Je ne suis pas sûre de voir comment on prouve cela à partir de la question (1)...
En ce qui concerne l'utilisation de la densité de
Puisque
Alors pour continuer dans cette voie :
Puisque
Pas d'accord. U est un ouvert contenant x, donc contenant un intervalle centré en x, donc il contient strictement un intervalle de la forme
Ainsi, on aurait que
On ne voit pas très bien ce qui est absurde. On a que
Je ne suis pas sûre de voir comment on prouve cela à partir de la question (1)...
Si {x} était ouvert, il serait inclus dans l'intérieur de Q qui est pourtant vide.
Alors pour continuer dans cette voie :
Puisque
Pas d'accord. U est un ouvert contenant x, donc contenant un intervalle centré en x, donc il contient strictement un intervalle de la forme
Le problème c'est que du coup si j'applique mon raisonnement à cet intervalle
. C'est une égalité. Si U contient un intervalle
, alors montre que
, et tu auras ta contradiction en utilisant notamment la densité de Q dans R.
Bonjour,
La question 1) est assez mal posée, d'intérieur vide dans quoi? L'intérieur dépend d'un espace ambiant, aucun n'est precisé. Q n'est pas d'intérieur vide dans Q.
On peut sans trop de souci penser que c'est R, mais il faut le preciser.
Bonjour Mokassin,
En effet j'en avais discuter avec mon prof qui m'avait dit : "Bien évidemment : c'est pour la topologie induite par "....
D'ailleurs, quelle sont les autres topologies que l'ont peut définir sur hormis la topologie grossière et la topologie discrète ?
_________________________________________________________________________________________________
WilliamM007
J'ai compris l'autre méthode qui est plus facile en effet, mais j'aimerais bien aboutir également dans l'autre...
Si je reprends, il existe un ouvert de
tel que :
. Et donc, il existe un intervalle
alors on a que :
car
et
...
Ensuite, puisque est dense dans
on a que pour tout élément réel de
il existe une suite d'éléments de
qui converge vers cet élément et donc puisque cette suite converge on a un nombre infini de termes de cette suite se trouvant dans
et donc
ne serait pas réduit à un élément.
Est-ce bien cela?
Bonjour Mokassin,
En effet j'en avais discuter avec mon prof qui m'avait dit : "Bien évidemment : c'est pour la topologie induite par
D'ailleurs, quelle sont les autres topologies que l'ont peut définir sur
_________________________________________________________________
Ca n'est pas qu'un problème de precision de la topologie. Evidemment sans autre precision on considère que Q est muni de sa topologie induite par la topologie réelle (enfin ça dépend, pour un arithméticien une topologie p-adique sera plus naturelle).
Mais l'intérieur est définie pour une partie A d'un espace (topologique disons) X.
Si je demande simplement est ce que Y est d'intérieur vide, on est en droit de se demander Y vu comme partie de quoi? Pour Q il est "relativement naturel" de le voir comme partie de R, mais il est encore plus naturel de le voir comme partie de Q, bon ca n'est clairement pas le choix de l'enoncé vu que dans ce cas il ne serait pas d'intérieur vide.
Les topologies p-adiques sont des topologies tres importantes (je suis sans doute biaisé, mais je dirais plus usitées que la topologie réelle) sur Q. Tu peux mettre tout un tas de topologie, mais les seules qui soient induites par des normes sont la topologie réelle (infini-adique comme on dit) et p-adique pour tout p premier.
Bonjour Mokassin,
En effet j'en avais discuter avec mon prof qui m'avait dit : "Bien évidemment : c'est pour la topologie induite par
D'ailleurs, quelle sont les autres topologies que l'ont peut définir sur
_________________________________________________________________________________________________
WilliamM007
J'ai compris l'autre méthode qui est plus facile en effet, mais j'aimerais bien aboutir également dans l'autre...
Si je reprends, il existe un ouvert
Ensuite, puisque
Est-ce bien cela?
Yes
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac