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Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 17:37

OK, ouf....

malou @ 06-08-2020 à 13:26

bonjour
.... remarquer que l'expression de f(x) est un carré parfait


écris f(x) autrement et tu auras immédiatement le fait que f(x) appartient à [0;1]

zut...on a changé de page, je réécris ici l'expression f(x)=x-2\sqrt{x}+1.

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 17:47

f(x)=(\sqrt{x}-1)²

Or x\in [0 ;1] .

Donc f(x) \in [0;1]

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 17:53

j'aurais aimé une ligne ou deux intermédiaires pour être sûre que tu avais compris, mais oui...
un peu plus court, non ? toujours bien lire ce qui se cache derrière nos pistes de réflexion...si tu avais bien lu, ton exo était fait en 2 coups de cuillères à pot

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 18:08

Ok , merci à vous deux

carpediem tu parles de quelle ''suite'' là ?

Posté par
carpediemre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 19:59

la fonction f est la composée ou suite de trois fonctions de référence : racine carrée puis fonction affine puis fonction carrée ...

tout comme malou il manque effectivement un ou deux arguments intermédiaires ...

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 20:38

Je n'ai pas encore vu les suites ..

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 21:02

matheux14 @ 07-08-2020 à 17:47

f(x)=(\sqrt{x}-1)²

Or x\in [0 ;1] .

==> 0 ≤ x ≤ 1

Donc f(x) \in [0;1]

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 21:15

bof...ça n'apporte rien en tant que démonstration...tu as seulement dit autrement la ligne précédente

quant aux suites...c'est du Français
tu composes des fonctions à la queue leu leu

si je te dis 1,4,-2,7 : j'ai écrit une suite de nombres, c'est à dire des nombres qui se suivent

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 22:12

matheux14 @ 07-08-2020 à 17:47

f(x)=(\sqrt{x}-1)²

Or x\in [0 ;1] et 1 ∈ [0;1].

f(x) est le carré de la différence  de la racine d'un élément de [0;1] et d'un autre ou le même élément du même intervalle.

Donc f(x) \in [0;1]

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 22:22

matheux14 @ 07-08-2020 à 17:47

f(x)=(\sqrt{x}-1)²

Or x\in [0 ;1] et 1 ∈ [0;1].

f(x) est le carré de la différence  de la racine carrée d'un élément de [0;1] et de 1.

Donc f(x) \in [0;1] car 1 est le plus grand élément de [0;1].

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 08-08-20 à 08:11

fichtre ! ...

x \in [0 \,; 1] ou 0\le x \le 1 si tu préfères travailler avec les inégalités

\sqrt x \in \dots

\sqrt x -1 \in \dots

(\sqrt x-1)^2 \in \dots

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 08-08-20 à 10:24


x \in [0 \,; 1] ou 0\le x \le 1

\sqrt x \in [0 ; 1]

\sqrt x -1 [0 ;1]

(\sqrt x-1)^2 \in [0 ;1]

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 08-08-20 à 10:30

dire que ça n'appartient pas à un intervalle ne me dit pas où c'est !!
et donc tu ne peux absolument pas écrire la dernière ligne
donc l'avant dernière ligne à revoir

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 08-08-20 à 10:37

Citation :
x \in [0 \,; 1] ou 0\le x \le 1

\sqrt x \in [0 ; 1]

\sqrt x -1 [0;1] car si x < 1 , alors √x -1 est négatif donc n'appartient pas à [0;1].

(\sqrt x-1)^2 \in [0 ;1]

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 08-08-20 à 10:45

matheux14 @ 08-08-2020 à 10:24


x \in [0 \,; 1] ou 0\le x \le 1

\sqrt x \in [0 ; 1]

\sqrt x -1 \in [-1 ;1]

(\sqrt x-1)^2 \in [0 ;1]

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 08-08-20 à 11:07

l'avant dernière ligne n'est pas fausse, mais personnellement je n'aurais pas écrit ça
j'aurais écrit " \in [-1\,;0] " qui est plus précis
OK pour la conclusion cette fois
quand même plus rapide comme méthode, non ?
retiens ça : "moins on en écrit, moins on a de chance d'écrire des bêtises"
donc choisir les chemins les plus courts...
et ça, ça vient à force d'en avoir choisi des longs (inutiles), et d'avoir comparé ensuite avec un court

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 08-08-20 à 11:33

Ouf...

Merci et bonne journée  

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 08-08-20 à 11:59

donc en résumé, ton exercice était :
Citation :
Soit f la fonction définie sur [0;1] par : f(x)=x-2\sqrt{x}+1.

Démontrer que x\in [0;1] , f \circ f(x)=x.


Remarque préliminaire : Pour x\in [0;1] ; f(x)=(\sqrt{x}-1)^2

\forall x\in [0;1] ; \sqrt x \in [0 ; 1]

\sqrt x -1 \in [-1 ;0]

(\sqrt x-1)^2 \in [0 ;1]
donc f(x) \in [0;1]

\forall x \in [0;1]\,, f \circ f(x)=(\sqrt{(\sqrt{x}-1)²}}}-1)²=(|\sqrt{x}-1|-1)²=(1-\sqrt x -1)²=x

était-ce long ?

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 08-08-20 à 12:07

Pas du tout ..

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 08-08-20 à 12:28

Posté par
carpediemre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 08-08-20 à 12:37

deux remarques :

le travail avec des appartenances à des intervalles est simplement le travail avec les inégalités appris au collège qui traduit le sens de variation des fonctions associées

pour dire en terme d'inégalité ce que dit malou :

0 \le x \le 1 => 0 \le \sqrt x \le 1 => -1 \le - \sqrt x \le 0 => 0 \le 1 - \sqrt x \le 1 =>0 \le (1- \sqrt x)^2 =f(x) \le 1 \iff f(x) \in [0, 1]

chaque implication est la traduction de :

la fonction racine est croissante
la fonction "prendre l'opposé" x --> -x est décroissante  (1)
la fonction "ajouter 1" x --> x + 1 est croissante                   (2)
la fonction carrée x --> x^2 est croissante sur R+

ensuite je préfère ici travailler avec 1 - x qui est positif plutôt que son opposé ... qui est négatif et cela évite les valeur absolue dans le calcul de f o f(x) donné par malou

enfin on peut regrouper (1) et (2) en une seule fonction affine x --> 1 - x qui est décroissante (fonction de référence donc à connaitre (toutes les propriétés) par cœur)

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 08-08-20 à 12:44

OK.

Merci

Posté par
carpediemre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 08-08-20 à 12:49

de rien

mais il faut prendre le temps de réfléchir et bien lire ce qui est écrit pour en tirer la substantifique moelle ... et ne pas répéter les mêmes errements dans les différents posts ...

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 08-08-20 à 12:50

D'accord

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