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Niveau première
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Composée d'une fonction sur une intervalle.

Posté par
matheux14 06-08-20 à 12:35

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit f la fonction définie sur [0;1] par : f(x)=x-2\sqrt{x}+1.

Démontrer que x\in [0;1] , f \circ f(x)=x.

Alors j'ai vérifié en entrant des valeurs à la calculatrice et c'est vrai ..mais pourquoi

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 13:26

bonjour
tu devrais écrire fof(x)
et remarquer que l'expression de f(x) est un carré parfait

Posté par
Kernelpanicre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 13:32

Bonjour, je ne fais que passer rapidement

il faudrait aussi justifier pourquoi on peut parler de f(f(x))... autrement dit pourquoi f(x) est dans [0,1]

Bonne journée.

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 15:16

x\in [0;1] ; f(x)=x-2\sqrt{x}+1.

Dfof=[0;1].

x\in [0;1] , f \circ f(x)=(x-2\sqrt{x}+1)-2\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}+1=(\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}-1)²

Il me semble que y'a quelque chose qui m'échappe..

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 15:33

ce qui t'échappe, c'est que ce que tu as sous la racine est aussi un carré
il faudra aussi justifier ton Dfof

Posté par
carpediemre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 17:16

salut

tout nombre positif est le carré de sa racine carrée ...

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 17:35

x\in Dfof \iff x\in Df et f(x)\in Df.

x\in [0;1] et x-2\sqrt{x}+1 \in [0;1] \iff x\in [0;1] et 0\leq x-2\sqrt{x}+1 \leq 1

x\in [0;1] et \dfrac{\sqrt{2x}}{2}\geq x \geq 0 \iff x\in [0;1].

x\in [0;1] ,f \circ f(x)=(x-2\sqrt{x}+1)-2\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}+1=(\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}-1)²=(\sqrt{(\sqrt{x}-1)²}-1)²=(\sqrt{x}-1+1)²=(\sqrt{x})²=x

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 17:41

pour Dfof
pourquoi pas une mini étude de f sur [0 ; 1] pour voir l'ensemble image

que vaut \sqrt{a^2} ?

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 17:45

\sqrt{a^2}=|a|

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 17:46

et tu l'as utilisé bien sûr

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 17:58

Non mais comment devrais-je l'utiliser ?

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 18:02

ben ici, quand tu veux simplifier ce que j'ai mis en rouge

f \circ f(x)=(x-2\sqrt{x}+1)-2\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}+1=(\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}-1)²={\red{(\sqrt{(\sqrt{x}-1)²}}}-1)²=\cancel{(\sqrt{x}-1+1)²}=\dots

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 18:31

Ah j'ai crû que tu parlais de Dfof..

x\in [0;1] ,f \circ f(x)=(\sqrt{(\sqrt{x}-1)²}}}-1)²=(|\sqrt{x}-1|-1)².

Or x \in [0;1] ; \sqrt{x}-1\leq0.

Donc x\in [0;1] ,f \circ f(x)=(\sqrt{(\sqrt{x}-1)²}}}-1)²=(-\sqrt{x}+1-1)²=(-\sqrt{x})²=x.

Ce qui n'arrange pas les calculs ...

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 18:33

Oups désolé

Citation :
Ah j'ai crû que tu parlais de Dfof..

x\in [0;1] ,f \circ f(x)=(\sqrt{(\sqrt{x}-1)²}}}-1)²=(|\sqrt{x}-1|-1)².

Or x \in [0;1] ; \sqrt{x}-1\leq0.

Donc x\in [0;1] ,f \circ f(x)=(\sqrt{(\sqrt{x}-1)²}}}-1)²=(-\sqrt{x}+1-1)²=(-\sqrt{x})²=x.

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 18:40

le but n'est pas d'arranger les calculs mais de faire des calculs justes !

il te reste à démontrer correctement ton Dfof
tu dois montrer que f(x) est dans [0 ; 1] proprement

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 06-08-20 à 22:33

Euh ...

x\in Dfof \iff x\in Df et f(x)\in Df.

x\in [0;1] et x-2\sqrt{x}+1 \in [0;1] \iff x\in [0;1] et 0\leq x-2\sqrt{x}+1 \leq 1

x\in [0;1] et x-2\sqrt{x}+1 \in [0;1] \iff x\in [0;1] et -1\leq x-2\sqrt{x} \leq 0

x\in [0;1] et x-2\sqrt{x}+1 \in [0;1] \iff x\in [0;1] et 1\geq -x+2\sqrt{x} \geq 0

x\in [0;1] et x-2\sqrt{x}+1 \in [0;1] \iff x\in [0;1]

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 08:36

je ne vois vraiment pas ce que tu démontres (ou ne démontres pas d'ailleurs) avec ce que tu as écrit
je t'avais pourtant soufflé une idée, toute simple, très efficace souvent, quand on a des inégalités à démontrer...
17h41 : "pourquoi pas une mini étude de f sur [0 ; 1] pour voir l'ensemble image"

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 10:47

Oui mais je ne vois pas comment faire celà ..

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 10:50

x\in [0;1] ,

Si 1> x \geq 0 alors f(x) \leq 1

Si x=1 alors f(x)=0

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 10:58

matheux14 @ 07-08-2020 à 10:47

Oui mais je ne vois pas comment faire celà ..

pour x dans [0 ; 1] f(x)=x-2\sqrt{x}+1.

f'(x) =

signe de la dérivée....monotonie....étude aux bornes....fini

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 11:14

Euh ...

Je n'ai pas encore vu les dérivés ..

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 11:27

ah...
alors méthode seconde pour les variations
pour ab tous deux dans ton intervalle d'étude
étude du signe du quotient \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}
ou le signe est toujours positif et ta fonction est croissante
ou toujours négatif et ta fonction est décroissante

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 11:30

Vu (Cf) avec GeoGebra , la courbe est décroissante ...

Donc le signe de f est toujours négatif

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 11:35

tu confonds la décroissance et le signe d'une fonction
d'ailleurs sur geogebra tu as du voir que ta fonction ne prenait que des valeurs positives !
étudie le signe du quotient dont je t'ai parlé au dessus, et montre proprement que ce signe est négatif

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 12:02

Alors j'ai choisis de différentes valeurs pour a et b dans [0;1].

Si a\geq b ou b\geq a alors \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq 0

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 12:08

un résultat sur des exemples peut te donner des idées, mais ne peut pas tenir lieu de démonstration...

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dots

tu remplaces f(a) et f(b) par leurs valeurs, tu factorises, tu simplifies et tu obtiens le signe du quotient

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 12:11

Oups

Citation :
Alors j'ai choisis de différentes valeurs pour a et b dans [0;1].

Si a < b ou b > a alors \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}<0

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 12:19

Soit a=1 et b=0

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{(0-2\sqrt{0}+1)-(1-2\sqrt{1}+1}{0-1}=-1

prenons a=0 et b=1.

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{(1-2\sqrt{1}+1)-(0-2\sqrt{0}+1}{1-0}=-1

Donc si a < b ou b > a alors \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}<0

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 12:27

tu n'as pas le droit de choisir des valeurs pour a et b
garde a et b pour faire ton calcul

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 13:34

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{b-a+2(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{b-a}

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 13:50

oui, bien parti

et si tu mettais \sqrt{a}-\sqrt{b} en facteur

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 14:35

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{b-a+2(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{b-a}=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})\left(\dfrac{b-a+2(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right) }{\left(\dfrac{b-a}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)}

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 14:39

Oups

Citation :
\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{b-a+2(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{b-a}=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})\left(\dfrac{b-a+2(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right) }{(\sqrt{a}-\sqrt{b})\left(\dfrac{b-a}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)}

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 14:52

ça avance, mais quelque chose t'échappe...
si je te dis a²-b², tu me réponds (a-b)(a+b)

et si je te dis b-a, tu me dis (.....)(.....) ??

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 14:58

Alors b-a=(√b-√a)(√b+√a) si a et B sont positifs bien sûr ..

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 15:05

ce qu'ils sont, puisque a et b sont dans [0 ; 1]
allez, utilise !

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 15:08

Et par suite \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=-3

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 15:13

Composée d\'une fonction sur une intervalle.
je vieillis ...je n'ai pas tout compris, tu me mets les intermédiaires ? ...

Posté par
carpediemre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 15:28

je repasse en repassant ...

tout avait été dit ici

carpediem @ 06-08-2020 à 17:16

tout nombre positif est le carré de sa racine carrée ...
que tu utilises visiblement sans le savoir à 17h35 (dernière ligne corrigé sur la fin par malou) ... et si tu avais conscience de ce résultat alors tout ce que tu fais depuis
malou @ 06-08-2020 à 18:40

il te reste à démontrer correctement ton Dfof
tu dois montrer que f(x) est dans [0 ; 1] proprement
qui n'utilises que cela (encore demandé par malou à 14h52) serait immédiatement fini et sans tous ces calculs inextricables dont tu n'arrives pas à sortir ...


pour l'instant je te laisse continuer avec malou et reviendrai plus tard pour te montrer comment en trois lignes et quasiment sans aucun calcul c'était plié !!!

PS : et même avec un taux de variation et mon rappel tu aurais fini les calculs très simplement ... mais ce serait un peu plus long ...

bon courage

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 15:49

ma toute première réponse était pas mal aussi mais je le laisse faire ses expériences, ensuite il ne comprendra que mieux l'intérêt de certaines choses...

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 15:57

Désolé..

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})+2(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 16:24

ne sois pas désolé, tu avances....normal que tu ne puisses pas avoir les mêmes réflexes que nous...mais on veut aussi te faire progresser...
pour le moment on continue ce que tu as commencé

allez, simplifie ta fraction ! si tu as peur, commence par factoriser le numérateur par \sqrt b - \sqrt a

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 16:42

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{\sqrt{b}+\sqrt{a}-2}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 16:47

TB
tu connais le signe de dénominateur, positif
donc ce quotient a le même signe que le numérateur...allez, presque fini

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 16:55

a et b appartiennent à [0;1] donc √b+√a-2 < 0 (car a≠b sinon 1+1 -2=0 ..)

Du coup \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}< 0

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 17:07

oui, à condition de savoir que si a est dans [0 ; 1], alors sa racine aussi
OK, c'est bon
donc f est décroissante sur [0; 1]
que vaut f(0) ? que vaut f(1) ?
conclusion

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 17:11

f(0)=1 et f(1)=0

Posté par
malou Webmasterre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 17:20

oui, ben raisonne un minimum, là quand même...rédige, n'oublie pas ce que tu cherches à démontrer....tu veux démontrer que pour tout x de [O;1], f(x) appartient à [0;1]

Posté par
carpediemre : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 17:32

bon c'est fini ...même si tu aurais pu conclure avec ta dernière réponse ...

effectivement la première intervention de malou donnait déjà un élément de réponse ... grâce et à cause de ma première intervention

pour en revenir à ce résultat en trois/quatre lignes en recopiant ce qui a été dit :

malou @ 06-08-2020 à 13:26

et remarquer que l'expression de f(x) est un carré parfait
parce que
carpediem @ 06-08-2020 à 17:16

tout nombre positif est le carré de sa racine carrée ...

x \in [0, 1] => x \ge 0 => x= \sqrt x ^2=> f(x) = x^2- 2\sqrt x+ 1 = \sqrt x ^2-2\sqrt x + 1 = (\sqrt x-1)^2 \green = (1 - \sqrt x)^2    (*)

or les fonctions racine carrée et carrée sont croissantes sur \R^+ donc sur l'intervalle [0, 1] et l'image de l'intervalle [0, 1] est l'intervalle [0, 1] donc l'image par f de l'intervalle [0, 1] est l'intervalle [0, 1]

au passage on retrouve que la fonction est décroissante car on peut décomposer le calcul de f en la suite : x \overset{x \mapsto \sqrt x}{\mapsto} \sqrt x \overset{x \mapsto 1 - x}{\mapsto} 1- \sqrt x \overset{x \mapsto x^2}{\mapsto} (1 - \sqrt x)^2 = f(x) car la deuxième fonction est la fonction \red x \mapsto 1 - x qui est décroissante avec l'écriture en vert de f(x) de (*)

PS : si on utilisait l'écriture noire de f(x) de (*)  alors la deuxième fonction x --> x - 1 est aussi croissante mézalor il faut considérer la fonction carrée sur l'intervalle [-1, 0] qui est cette fois-ci décroissante

enfin avec l'écriture (*) de f(x) alors le calcul de f o f(x) est immédiat ... et je t'invite à le vérifier ...

Posté par
matheux14re : Composée d'une fonction sur une intervalle. 07-08-20 à 17:32

a et b \in [0;1] , \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}< 0 donc f est décroissante sur [0;1].

Or f(0)=1 et f(1)=0

a et b \in [0;1] , f(x) \in [0;1].

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