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Composées de fonctions.

Posté par
matheux14 04-08-20 à 22:05

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Soit f et g deux fonctions de \R \mapsto \R.

Dans chacun des cas suivants , déterminer les ensembles de définition de fog , gof , fof puis donner la formule explicite de ces fonctions.

a) f(x)=1-2x et

g(x)=x+1.

b) f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}  et

g(x)=\dfrac{x}{2x-1}

c) f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3} et

g(x)=\dfrac{4}{x-1}.

Réponses

a) f(x)=1-2x et

g(x)=x+1.

Df=\R et Dg=\R.

* x\in Dfog \iff x\in\R et f(x) \in Dg.

Donc x\in Dfog \iff x \in \R.

Donc Dfog\R.

x \in \R , f \circ g(x)=f[g(x)]=-(2x+1)

*x \in Dgof \iff x\in \R.

Donc Dgof=\R.

x \in \R , gof(x)=-2x+2.

*Dfof=\R.

x\in \R , f \cir f(x)=f(x)=1-2x.

b) f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}  et

g(x)=\dfrac{x}{2x-1}


Df=\R\{-1} et Dg=\R\{1/2}.

* x\in Dfog \iff x\in \R \{-1} et \dfrac{x}{2x-1}\neq \dfrac{1}{2}.

Donc x\in Dfog \iff x\neq -1 et \dfrac{x}{2x-1} \neq \dfrac{1}{2}

x\in Dfog \iff x\neq -1 et \dfrac{1}{4x-2} \neq0

x\in Dfog \iff x\neq -1 et x\neq \dfrac{1}{2}.

Donc x\in Dfog \iff x\in \R\{-1} et x\in \R\{1/2}.

Dfog=(]-\infty;-1[ \cup ]-1;+\infty[) \cap (]-\infty ;\dfrac{1}{2}[ \cup ]\dfrac{1}{2} ; +\infty [)=]-\infty ;\dfrac{1}{2}[ \cup ]\dfrac{1}{2};\infty[= \R\{1/2}.

Donc Dfog=\R\{1/2}.

x\in \R\{1/2} ,

f\circ g(x)=\dfrac{(\dfrac{x}{2x-1}-2)}{(\dfrac{x}{2x-1}+1)}=\dfrac{-3x+2}{(\dfrac{3x-1}{2x-1})}.

Mais je ne suis pas sûr de ce que j'ai fait ..

Posté par
Kernelpanicre : Composées de fonctions. 05-08-20 à 00:07

Bonsoir,

une petite remarque :

Citation :
* x\in Dfog \iff x\in\R et f(x) \in Dg.

Donc x\in Dfog \iff x \in \R.


Le résultat est vrai, mais un "donc" suppose que l'on a présenté un argument que je ne vois pas ici... il faudrait expliquer comment on passe d'une manière aussi limpide (et c'est tout à fait normal/intuitif) de la première ligne à la seconde (il faut juste revenir à la définition de f, dire pourquoi c'est redondant ce "et").

- Pour a), je ne trouve pas ça pour f o f (mais il est tard...). Montre ton calcul.

- Pour b), ton domaine est faux car le passage de la première ligne (celle avec l'étoile *) à la deuxième est fausse (je ne comprends pas ce que tu as voulu faire), et aussi parce qu'on cherche la composition f o g... attention
Pour l'expression de f o g,  là aussi je ne comprends pas tes calculs... essaye de refaire ça au propre . D'habitude, je conseille d'utiliser géogebra pour tracer les courbes et se vérifier, mais tu risques d'avoir une surprise pour le domaine f o g si tu te fies à ce logiciel (tu peux l'utiliser, mais surtout ne sois pas surpris si tu trouves un domaine de définition plus restreint par le calcul, il y a une histoire de prolongement).

Posté par
heklare : Composées de fonctions. 05-08-20 à 00:11

Bonsoir

1) f\circ g et g \circ f oui

f\circ f(x)=f(f(x))=f(1-2x)=1-2(1-2x)

2)(f\circ g)(x)=f\left(\dfrac{x}{2x-1}\right)=\dfrac{\frac{x}{2x-1}-2}{\frac{x}{2x-1}+1}=\dfrac{x-2(2x-1)}{x+2x-1}

Posté par
matheux14re : Composées de fonctions. 05-08-20 à 09:07

Bonjour,

Pour a) , ..   x \in \R , f \circ f(x)=f[f(x)]=f(1-2x)=1-2(1-2x)=4x-1.

Pour b) l'ensemble de définition de fog que je trouve est vraiment bizarre , pourtant je ne vois pas d'erreur ...

Posté par
malou Webmasterre : Composées de fonctions. 05-08-20 à 09:33

bonjour à tous
matheux14
pour b)
pour fog , il faut tout reprendre
si tu veux pouvoir écrire fog(x)=f[g(x)]
tu vas déjà devoir pouvoir écrire g(x) et pour cela la 1re condition à écrire est x Dg
ensuite la seconde sera que g(x) doit appartenir à Df

fais ça simplement, là tu démarres mal et en plus tu te perds dans tes écritures

Posté par
matheux14re : Composées de fonctions. 05-08-20 à 09:49

f(x)=\dfrac{x-2}{x+1} et g(x)=\dfrac{x}{2x-1}.

Df=\R\{-1} et Dg=\R\{1/2}.

x\in \R\{1/2} , g(x)=\dfrac{x}{2x-1}.

Dois-je transformer g(x) ?

Posté par
malou Webmasterre : Composées de fonctions. 05-08-20 à 10:13

là tu donnes Df et Dg, mais tu ne réalises pas ton exercice

x doit appartenir à Dg et g(x) doit appartenir à Df
et c'est ce système que tu dois résoudre

Posté par
matheux14re : Composées de fonctions. 05-08-20 à 10:30

x\in Dfog \iff x\in Dg et g(x) \in Df \iff x\neq \dfrac{1}{2} et
\dfrac{x}{2x-1}\neq -1

x\in Dfog \iff x\neq 1/2 et 3x-1 \neq0

Dfog=(]-∞;1/3[ U ]1/3 ;+∞[) \cap(]-∞;1/2[ U ]1/2;+∞[ )

Dfog=]-∞;1/2[U]1/2;+∞[

Posté par
heklare : Composées de fonctions. 05-08-20 à 10:36

Vous enlevez tout un ensemble alors que vous n'ôtez que deux points

Faites un dessin, enlevez les deux points  Que reste-t-il ?

Posté par
matheux14re : Composées de fonctions. 05-08-20 à 11:22

\R\{1/3;1/2}

Posté par
matheux14re : Composées de fonctions. 05-08-20 à 11:31

Citation :
x\in Dfog \iff x\in Dg et g(x) \in Df \iff x\neq \dfrac{1}{2} et
\dfrac{x}{2x-1}\neq -1

x\in Dfog \iff x\neq 1/2 et 3x-1 \neq0

Dfog=(]-∞;1/3[ U ]1/3 ;+∞[) \cap(]-∞;1/2[ U ]1/2;+∞[ )

Dfog=]-∞;1/3[U]1/2;+∞[

Posté par
heklare : Composées de fonctions. 05-08-20 à 11:41

\R\setminus\{1/2\ ;1/3\}

Il n'y a que ces deux valeurs à enlever et non pas l'intervalle [1/3 ; 1/2]

Posté par
heklare : Composées de fonctions. 05-08-20 à 11:45

c'est ce que vous aviez écrit 11 :22

une remarque  x\not= 1/2

\dfrac{x}{2x-1}=-1 \iff  x=-(2x-1)\iff 3x=1

Cela ne vaut pas le coup de tout mettre dans le premier membre.

Posté par
matheux14re : Composées de fonctions. 05-08-20 à 12:24

Ok ,

x\in \R \setminus \{1/3 ;1/2\} , f \circ g(x)=f[g(x)]=\dfrac{(\dfrac{x}{2x-1}-2)}{(\dfrac{x}{2x-1}+1)}=\dfrac{(-3x+2)}{(\dfrac{3x-1}{2x-1})}

Posté par
heklare : Composées de fonctions. 05-08-20 à 12:44

Non car il manque le dénominateur du numérateur

  \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{b}}=\dfrac{a}{c}

en effet   \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{b}}=\dfrac{a}{\cancel{b}}\times\dfrac{\cancel{b}}{c}


On a donc  \dfrac{\frac{x}{2x-1}-2}{\frac{x}{2x-1}+1}=\dfrac{x-2(2x-1)}{x+2x-1}=\dfrac{-3x+2}{3x-1}

cf 00 :11

Posté par
matheux14re : Composées de fonctions. 05-08-20 à 12:50

Au niveau du dénominateur \dfrac{x}{2x-1}+1=\dfrac{x+2x-1}{1×(2x-1)}

Posté par
malou Webmasterre : Composées de fonctions. 05-08-20 à 12:59

matheux14 @ 05-08-2020 à 12:24

Ok ,

x\in \R \setminus \{1/3 ;1/2\} , f \circ g(x)=f[g(x)]=\dfrac{(\dfrac{x}{2x-1}-2)}{(\dfrac{x}{2x-1}+1)}=\dots


moi je décide de multiplier haut et bas par (2x-1) et il vient immédiatement

=\dfrac{x-2(2x-1)}{x+(2x-1)}=\dots qu'il n'y a plus qu'à réduire

et on ne s'embête pas avec tous ces étages de fractions

Posté par
heklare : Composées de fonctions. 05-08-20 à 13:00

Que voulez-vous dire  ?

Je vous parlais du numérateur auquel il manquait le dénominateur de la fraction d'icelui

\dfrac{\frac{x}{2x-1}-2}{\frac{x}{2x-1}+1}=\dfrac{\dfrac{x-2(2x-1)}{2x-1}}{\dfrac{x+2x-1}{2x-1}}=\dfrac{-3x+2}{3x-1}

Posté par
matheux14re : Composées de fonctions. 05-08-20 à 13:13

Ah d'accord malou

En multipliant haut et bas par (2x-1) çà se simplifie rapidement ..

x\in \R \setminus \{1/3 ;1/2\} , f \circ g(x)=f[g(x)]=\dfrac{-3x+2}{3x-1}

Posté par
matheux14re : Composées de fonctions. 05-08-20 à 14:29

Toujours au b)

* Dgof=\R \setminus \{-1 ;5\}.

x\in \R \setminus \{-1 ;5\} , g \circ f (x)=\dfrac{x-2}{x-5}.

*Dfof= \R \setminus \{-1;\dfrac{1}{2} \}.

x\in \R \setminus \{-1 ;\dfrac{1}{2}\} , f \circ f (x)=\dfrac{-(x+4)}{2x-1}.

Posté par
malou Webmasterre : Composées de fonctions. 05-08-20 à 14:33

Posté par
matheux14re : Composées de fonctions. 05-08-20 à 14:36

Posté par
heklare : Composées de fonctions. 05-08-20 à 14:42

Je ne trouve pas cela du tout

(g\circ f)(x)=g(\left\dfrac{x-2}{x+1}\right) =\dfrac{\dfrac{x-2}{2x-1}}{2\left(\dfrac{x-2}{2x-1}\right)-1}

(g\circ f)(x)=\dfrac{\dfrac{x-2}{2x-1}}{\dfrac{2x-4-(2x-1)}{2x-1}}=\dfrac{x-2}{-3}=\dfrac{2-x}{3}

Posté par
heklare : Composées de fonctions. 05-08-20 à 14:46

au temps pour moi

(g\circ f)(x)=g(\left\dfrac{x-2}{x+1}\right) =\dfrac{\dfrac{x-2}{x+1}}{2\left(\dfrac{x-2}{x+1}\right)-1}

(g\circ f)(x)=\dfrac{\dfrac{x-2}{x+1}}{\dfrac{2x-4-(x+1)}{x+1}}=\dfrac{x-2}{x-5}
  d'accord

Posté par
matheux14re : Composées de fonctions. 05-08-20 à 15:31

c)

f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}

Et

g(x)=\dfrac{4}{x-1}

Df=\R \setminus \{-3\} et Dg=\R \setminus \{1\}.


* Dfog=\R \setminus \{-\dfrac{1}{3} ;1\}.

x \in \R \setminus \{-\dfrac{1}{3} ;1\} ; f \circ g (x)=\dfrac{-x+9}{3x+1}.



* Dgof=\R \setminus \{-3;4\}.

x \in \R \setminus \{-3 ;4\} ; g \circ f (x)=\dfrac{4x+12}{x-4}.



* Dfof=\R \setminus \{-3 ;-\dfrac{8}{5}\}.

x \in \R \setminus \{-3;-\dfrac{8}{5} \} ; f \circ f (x)=\dfrac{3x-5}{5x+8}.

Posté par
malou Webmasterre : Composées de fonctions. 05-08-20 à 15:36

Posté par
matheux14re : Composées de fonctions. 05-08-20 à 15:38

Merci malou

Posté par
malou Webmasterre : Composées de fonctions. 05-08-20 à 15:45

Je t'en prie
Tu as acquis en efficacité là...

Posté par
matheux14re : Composées de fonctions. 05-08-20 à 16:20

Ah bon ? ...

Merci c'est grâce à vous !


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