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Niveau Maths sup
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Composition d'un DL par une fonction

Posté par
Froxy
14-07-19 à 16:43

Bonjour,

Je suis élève de MP et j'ai une question concernant l'exercice 46 de la banque CCP
(http://***)

On y prouve que \pi\sqrt{n²+n+1} = n\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{8n} + O(\frac{1}{n²})

Puis la correction écrit, sans plus détailler, que \forall n\in \mathbb{N}^*,  cos(\pi\sqrt{n²+n+1}) = cos(n\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{8n} + O(\frac{1}{n²}))

Ma question: peut-on composer un DL par une fonction comme ça? J'imagine que la fonction doit présenter quelques propriétés. Est-ce parce que cos admet lui-même un DL?
Et surtout, comment peut-on affirmer cette égalité pour tout n, sachant que le DL n'est vrai qu'au voisinage de +??

Merci de votre aide

Posté par
Zrun
re : Composition d'un DL par une fonction 14-07-19 à 16:57

Comme tu l'as écrit ,

Froxy @ 14-07-2019 à 16:43


On y prouve que \pi\sqrt{n²+n+1} = n\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{8n} + O(\frac{1}{n²})


On a donc une égalité donc si y=x alors cos(y)=cos(x) ...
Cela à avoir avec le fait que l'image d'un nombre par une fonction est unique
Froxy @ 14-07-2019 à 16:43


Et surtout, comment peut-on affirmer cette égalité pour tout n, sachant que le DL n'est vrai qu'au voisinage de +∞?

Merci de votre aide

Tu n'as pas saisi le sens des O . Cela indique une fonction dont on précise le comportement en un point particulier en la comparant à une fonction de référence simple (celle qui est dans le O) . Donc l'égalité est bien valable pour tout n



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