Niveau Maths sup

Comprendre dx

Posté par
Rexe 17-09-20 à 20:38

Bonjour , je suis élève à cpge 1 ère année , j' ai une question à propos de "équation différentiel à variable séparé "
le prof ici à utiliser l équation y' = f(x).g(y)
il a utiliser la notation dy/dx mais ce qui était étonnant pour moi c'est qu'il a utiliser dx
comme étant un réel "dy = f(x) g(y) dx "
ce qui est un peu bizarre pour moi , j'ai toujours crut que ce n'est q'une notation , j'ai entendu parler d'une variable infiniment petit mais j'ai jamais vraiment compris ce concept car la dérivée n'est qu'une limite de forme 0/0 , dy/dx ne peut jamais être égale
à f(x) g(y) quelque soit la valeur de dx , alors comment comprendre ce raisonnement .

malou edit > **modifie ton niveau dans ton profil s'il te plaît Rexe **

Posté par re : Comprendre dx 17-09-20 à 22:52

Salut

Il y a un truc intéressant sur wikipedia

Posté par re : Comprendre dx 17-09-20 à 23:52

en reprenant ce qui a été dit sur wikipedia :

On a $y'(x)=f(x)g(y(x))$ donc $\dfrac{1}{g(y(x))}y'(x)=f(x)$ on cherche une primitive des deux cotés

$\int \dfrac{1}{g(y(x))}y'(x) dx=\int f(x)dx$

Si $y$ une fonction bijective, on a un théorème de changement de variable (dans un calcul de primitive) qui permet d'écrire (voir cours)

$\int \dfrac{1}{g(y(x))}y'(x) dx=\int \dfrac{1}{g(s)}ds$

Voilà, il y a peut être des choses manquantes, mais l'objectif était de faire disparaître ces "dx" "dy".

Il me semble que ce qui importe est le théorème sur le changement de variable pour les primitives.

Ensuite on a
$\\ \int \dfrac{1}{g(s)}ds=\int f(x)dx\iff H(s)+C_1=F(x)+C_2$ , ensuite (il me semble) Si H est bijective, on a $s=H^{-1}(F(x)+C_2-C_1)$ , et $s=y(x)$ donc $y(x)=H^{-1}(F(x)+C_2-C_1)$

Tout ceci est à confirmer par un expert sur la question

Posté par re : Comprendre dx 18-09-20 à 09:18

Bonjour,

L'utilisation de cette écriture ( $f(x)\,dx = g(y)\,dy$ ) a de quoi troubler, et tu as raison de te poser des questions sur la nature des objets manipulés.
Il y a une réponse "à la physicienne" : $dx$ est un accroissement infiniment petit de la variable $x$ , $dy$ un accroissement infiniment petit de la variable $y$ . Quand le point de coordonnées $(x,y)$ est contraint à se déplacer sur le cercle $x^2+y^2= r^2$ , les accroissements infiniment petits des coordonnées sont liés par la relation $x\,dx + y\,dy = 0$ (qui exprime que la tangente au cercle est orthogonale au rayon). Bien sûr on se demande ce que "infiniment petit" veut dire mathématiquement.
La réponse mathématique fait appel à la notion de forme différentielle, une notion qui demande pas mal de matériel préalable pour être comprise. Tu pourras trouver une approche dans la page wikipédia

Posté par re : Comprendre dx 18-09-20 à 09:19

Bonjour,

je réponds juste pour les éléments différentiels "dx,dy" donc mon message n'a rien à voir avec le beau message de mousse42.

En fait c'est une notation, il ne faut pas considérer dx et dy comme des réels (bien que ça ait du sens dans une autre structure peu standard, et c'est le cas de le dire). Seulement ça colle assez bien à la réalité de les manipuler ainsi, et c'est souvent les physiciens qui emploient ces notations.

Par exemple quand on fait des changements de variables et qu'on regarde les différentielles, on obtient la jolie formule :

$\dfrac{dy}{ds} = \dfrac{dy}{dt} \times \dfrac{dt}{ds}$

qui a un sens vraiment rigoureux quand on travaille avec les matrices jacobiennes (mais pour le moment tu n'as peut-être pas vu tout ça). Retiens juste que ça fait sens pour le moment, tu verras un peu plus tard pourquoi.

Posté par re : Comprendre dx 26-09-20 à 17:39

salut et merci pour vos réponses
et c'est vrai j'ai  vu cet manipulation uniquement chez le prof de physique
et cette semaine on a prouvé les relations de calcul  de l'aire de certaine figures ce qui m'a confusé  de plus on a même utiliser la double intégration chose qui est totalement nouvelle pour moi .
merci encore une fois , pour le moment je vais penser  que c'est  un moyen pour faciliter les calculs , ou bien je vais accepté qu'il existe vraiment un infinitésimal qui peut être considérer comme un réel , jusqu'au finir l'article de Wikipédia si je peux le comprendre

Posté par re : Comprendre dx 27-09-20 à 10:35

Citation :
ou bien je vais accepté qu'il existe vraiment un infinitésimal qui peut être considérer comme un réel

C'est une grosse erreur, le corps des réels est archimédien, il ne contient pas de quantités infiniment petites ou infiniment grandes. Mais oui, tu peux manipuler dx comme tu le souhaites, tu verras un peu plus tard pourquoi (cf message de GBZM).

Posté par re : Comprendre dx 29-09-20 à 14:34

Salut !
Petit initiation à l'utilisation du symbole $dx$ dans les formes différentielles (tel qu'évoqué ci-dessus) :

Une forme différentielle de degré 1 est une application $\alpha : E \rightarrow E^*$ où E est un ev de dimension n.

Par exemple dans $E=\R^3$

On a $\alpha(x,y,z) = f_1(x,y,z) dx + f_2(x,y,z) dy + f_3(x,y,z)dz$ où $f_1,f_2,f_3 : \R^3\rightarrow \R$

où $dx,dy,dz \in \R^3^*,~dx(a,b,c) = a,~dy(a,b,c) = b,~dz(a,b,c) =c$ (ce sont les application "coordonnées" en définitive)

Et donc $\alpha(x,y,z)(a,b,c) = a.f_1(x,y,z) + b.f_2(x,y,z)+ c.f_3(x,y,z)$

L'exemple classique que l'on prend dans ce cas étant une application différentiable $\Theta : \R^3 \rightarrow \R$ et :

$D\Theta$ est une forme différentielle de degré 1

$D\Theta(x,y,z)= \frac{\partial \Theta}{\partial x}(x,y,z)dx+\frac{\partial \Theta}{\partial y}(x,y,z)dy+\frac{\partial \Theta}{\partial z}(x,y,z)dz \in \R^3^*$

$D\Theta(x,y,z)(i,j,k) = \frac{\partial \Theta}{\partial x}(x,y,z)i+\frac{\partial \Theta}{\partial y}(x,y,z)j+\frac{\partial \Theta}{\partial z}(x,y,z)k \in \R$

_{(sauf erreur bien entendu)}

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