Salut
j'ai un peu du mal à comprendre ta question
On a


Pour passer de l'expression de y à y' on dérive sous le signe somme mais attention cela n'est pas toujours possible il faut qu'il y ait convergence uniforme de ta série.
si tu choisis y développable en série entière il n'y a aucun soucis du moins à l'intérieur le disque de convergence.

Titimarion, j'ai un doute, mais t'es sure qu'on a besoin de la convergence UNIFORME pour dériver ?

Non pas nécessairement mais la convergence uniforme permet de dériver sous le signe somme, et vu l'énoncé je pense que l'on parle d'une série entière.
Sinon il y a d'autres critères qui permettent d'intervertir somme et dérivation

je comprends pas le rapport avec l'interversion symbole somme-intégrales ?
je voulais juste te dire qu'ilme semblait que pour pouvoir dériver une série entière, il suffisait qu'elle ait un rayon de convergence non nul (et alors, elle est C sur ]-R,R[ ..etc...)
Mias peut-etre que je me trompe ....

Je n'ai pas parlé d'interversion somme intégrale mais d'interversion somme et dérivation ce qui n'est pas la même chose.
Mais je suis d'accord avec toi si c'est une série entière on peut si le rayon de convergence n'est pas nul, mais le résultat ne sera correct qu'a l'intérieur du disque de convergence.
Cependant os2 n'a pas précisé qu'il parlait d'une série entière il existe des séries qui ne sont pas entières malheureusement

titimarion, je comprends pas vraiment lorsque tu dits on dérive sous le signe somme?

tu pourrais me montrer pas à pas comment le faire? ou bien me dire comment le faire sur la ti?

merci

Si tu poses
tu as car ne dépend pas de x.
Donc

y= sommation(an * (x-1)^n )

on pose

x-1=v  x=v+1


y=sommation( an v^n )

y'= sommation ( n an v^(n-1) )

est-ce qu'on peut dire que y' peut aussi s'écrire:

sommation (n+1 * an+1  * v^n )?

oui tu peux tout à fait faire cela