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compte de parties
Bonjour je suis bloqué sur un exo pourriez vous m'aider svp.
Mes notationjs : P(p)E = ensemble des parties de E à p éléments de cardinal p parmi n.
n>2.
On note An,k l'ensemble des parties à k éléments de [1,n] ne contenant pas deux entiers consécutifs. par ex: {1,3,7} appartient à A10,3 mais pas {1,5,6}. p(n,k) = card(An,k).
Déterminer rapidement p(n,1) et p(n,2)
j'ai trouvé p(n,1) c'est n mais pas p(n,2) {surment est-ce n(n+1)/2 mais je ne sais pas le démontrer...)
Soit {a,b,c} un élément de An,3 avec a<b<c.
J'ai démontré que a<b-1<c-2 et je dois trouver une bijection entre An,3 et P(3)([1,m]) où m est un entier à préciser... Donner alors la valeur de p(n,3)... ca je suius totalmeent bloqué.
Pour retrouver ce résultat je dois aussi faire comme ceci :
n>5. Montrrer que p(n,3) = p(n-1,3) + (n-2,2)/ Il faudra définir une bijection dans des ensembles bien choisis (se devinant derrière la formule à provuer à ce quil parait..). Il faudra donc définir l'image de {a,b,c} avec a<b<c et pour cela distinguer c=n et c<n. En déduire par récurrence sur n la valeur de p(n,3) en utilisant p(n,1) et p(n,2) et que p(5,3) = 1.
Aidez moi svp je suis totalement dépassé je ne comprends rien à cet exercice . Merci d'avance pour votre aide
Ethan
j'en suis au moment où ils veulent démontrerr la bijection (la premiere...) je ne vois pas quoi proposer ou en tout cas rien qui ne me semble etre une bijection.... aucune ame charitable 
1/
Il existe (n-1) sous ensembles de [[1,n]] constiutés de 2 éléments consécutifs :
{1,2}, {2,3}... et {n-1,n}
donc
2/
a<b<c
On sait de plus que
a et b ne sont pas consécutifs donc b>a+1 ie b-1>a
b et c ne sont pas consécutifs donc c>b+1 ie c-1>b ie c-2>b-2
donc c-2>b-1>a
inversement si c-2>b-1>a, a, b et c ne sont pas consécutifs 2 à 2.
si on pose b'=b-1 et c'=c-2, choisir unn triplet {a,b,c} d'éléments non consécutifs revient à choisir {a,b',c'} dans [[1,n-2]].
Il existe donc une bijection entre les sous ensembles de [[1,n]] à 3 éléments dont 2 quelconques ne sont pas conséscutifs et les sous ensembles de [[1,n-2]].
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