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concavité et inégalité de Holder
bonjour je bloque depuis 2 h sur une pauvre question j'ai tout essayé ce qui était dans mon savoir mais je ny arrive pas
soit p et q 2 réels strictement supérieurs à 1 tels que (1/p)+(1/q)=1
on me demande en utilisant la concavité de la fonction de ln de démontrer que pour tous réels a et b strictement positif ,
ab est inférieur ou égal à [(1/p)*a^p + (1/q)*b^q ]
voila j'ai essayé dappliquer linégalité de concavité et je ny arrive pas et dieu sait que jy ai passé du temps
ma démarche...
apres cela j'ai essayé de considérer une tangente de la fonction ln mais ca ne mavance pa tro
et voila en fait je crois que en fait je narrive pas à faire apparaitre a et b ...
merci de votre aide jen pe plus la meme si ojourdui c greve c mon cervo ki a envie dla faire la!!
merci
je vois que ce pb na pa bcp de succes peut etre vous faut il des complément je ne pense avoir rien oublié
bonjour mickachef
la fonction Ln est concave donc:
Ln([(1/p)*a^p + (1/q)*b^q ])>=Ln(a^p)/p + Ln(b^q)/q ; car (1/p)+(1/q)=1
comme Ln(a^p)/p + Ln(b^q)/q =Ln(a)+Ln(b)=Ln(ab)
donc
Ln([(1/p)*a^p + (1/q)*b^q ])>=Ln(ab) (1)
puis comme la fonction exponentielle est croissante sur R, en prenant l'exponenetielle de chaque membre de (1) vous obtenez
[(1/p)*a^p + (1/q)*b^q ] >= ab CQFD.
voila bon courage
:)
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